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Corso di Probabilit` a e Statistica 2022-2023 Appello 1 - 19.04.2023 Nome e cognome: Matricola: © I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. PARTE 2 Risolvere i seguenti problemi indicando il procedimento seguito Problema A. In un’azienda, due officine producono gli stessi pezzi. L’officina 1 produce il doppio dei pezzi in un giorno rispetto all’officina 2. La percentuale di pezzi difettosi ` e del 3% per l’officina 1 e del 4% per l’officina 2. Un pezzo viene prelevato a caso dalla produzione dell’intera giornata. Determinare: a. la probabilit` a che questo pezzo provenga dall’officina 1; b. la probabilit` a che questo pezzo provenga dall’officina 1 e sia difettoso; c. la probabilit` a che questo pezzo sia difettoso; d. la probabilit` a che questo pezzo provenga dall’officina 1 sapendo che ` e difettoso. Soluzione: Siano A: “il pezzo proviene dall’officina 1” B: “il pezzo proviene dall’officina 2” D: “il pezzo ` e difettoso” a. P(A) = 2 3 = 1 − P(B). b. P(A ∩ D) = P(D|A)P (A) = 2 3 × 3 100 = 1 50. c. Per la formula delle probabilit` a totali, P(D) = P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) = 2 3 × 3 100 + 1 3 × 4 100 = 1 30 d. Per il teorema di Bayes, P(A|D) = P(D|A)P(A) P(D) = 3 5 = 0, 6. Problema B. Sia ( X, Y ) un vettore aleatorio discreto con distribuzione di probabilit` a data dalla tabella seguente: X = −1 X = 0 X = 1 Y = −1 0 1/4 0 Y = 0 1/4 0 1/4 Y = 1 0 1/4 0 a. Calcolare le distribuzioni marginali di X e Y . b. Quanto valgono E[X], E[Y ] e Var(X)? c. Calcolare P(X = −1|Y = 1). d. Quanto vale Cov( X, Y )? X e Y sono indipendenti? 1 Soluzione: a. Si ha P(X = −1) = 1 4 , P(X = 0) = 1 4 + 1 4 = 1 2 , P(X = 1) = 1 4 , e P(Y = −1) = 1 4 , P(Y = 0) = 1 4 + 1 4 = 1 2 , P(Y = 1) = 1 4 . b. Si ha E[X] = −1 4 + 1 4 = 0 = E[Y ] V…