230628

Page 1

Corso di Probabilit` a e Statistica Appello 2: 28 giugno 2023 Nome e cognome: Matricola: c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sar` a perseguito. PARTE 2 Risolvere i seguenti problemi indicando il procedimento seguito. Studenti DSA: svolgere solo esercizi 1, 3 completi, esercizio 2 punti a e b. Esercizio 1 Da una stima di Google ´ e emerso che il 50% delle email sono spam. Per limitare i disturbi causati agli utenti i gestori delle caselle di posta elettronica usano dei software anti-spam. Uno dei pi` u famosi ´ e in grado di classificare come spam il 96% delle email spam. Sapendo che 6% ´ e la probabilit` a che una mail non-spam sia classificata come spam, calcolare: a) la probabilit` a che una mail a caso sia spam e venga classificata come spam. b) La probabilit` a che una mail a caso sia spam. c) La probabilit` a che una mail sia non-spam sapendo che questa sia stata classificata come spam. Soluzione. Definiamo gli eventi C ={ La mail ´ e classificata come spam}, S ={ La mail ´ e uno spam}. Dai dati abbiamo P (S) =P (Sc) = 0.5, P (C|S) = 0.96, P (C|Sc) = 0.06. a) P (C∩S) =P (C|S)P (S) = 0.96× 0.5 = 0.48. b) P (S) = 0.5. c) Dalla formula delle probabilit` a totali P (C) =P (C|S)P (S) +P (C|Sc)P (Sc) = 0.96× 0.5 + 0.06× 0.5 = 0.51. Dal Teorem di Bayes P (Sc|C) = P (C|Sc)P (Sc) P (C) = 0.06× 0.5 0.51 = 0.0588. 1 Esercizio 2 Il tempo d’attesa T (in minuti), per una persona in coda a un noto fast-food ´ e una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente funzione densit` a di probabilit` a f(x) = { λ ( 25x−x3) 0≤x≤ 5, 0 altrimenti, per un certo λ∈ R. a) Calcolare il valore di λ. b) Calcolare la probabilit` a che una persona aspetti tra 4 e 5 minuti. c) Calcolare il tempo d’atteso medio. d) Calcolare la varianza di T . Soluzione.…