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Politecnico di Milano - Ingegneria Biomedica Analisi Matematica 1 e Geometria 24-6-2019 Esercizio 1. a. Calcolare il valore del seguente limite lim x→0+ 3√ 1−x5− 1 x ln(1 +x2)−x3. b. Determinare le soluzioni dell’equazione complessa iz3 = 4z|z|. Soluzioni a. Il limite induce una forma di indecisione del tipo [0 0 ] . Per sciogliere tale indecisione consideriamo gli sviluppi: • (1+ε)a = 1+aε+o(ε) per ε→ 0 (a∈ R), da cui, scegliendoε =−x5 ed il valorea = 1/3, otteniamo 3 √ 1−x5− 1 = 1− 1 3x5 +o(x5)− 1 =−1 3x5 +o(x5); • ln(1 +ε) =ε− 1 2ε2 +o(ε2) da cui, scegliendo ε =x2, otteniamo x ln(1 +x2)−x3 =x ( x2− 1 2x4 +o(x4) ) −x3 =x3− 1 2x5 +o(x5)−x3 =−1 2x5 +o(x5). Raccogliendo le informazioni ottenute sopra, possiamo ora calcolare il valore del limite. Abbiamo lim x→0+ 3√ 1−x5− 1 x ln(1 +x2)−x3 =− 1 3x5 +o(x5) − 1 2x5 +o(x5) = 2 3. b. Notiamo subito chez = 0 ´ e soluzione dell’equazione. Supponendo quindiz̸= 0, possiamo quindi dividere per z entrambe i termini per ottenere la nuova equazione iz2 = 4|z|. Rappresentiamo z = x +iy, con x,y ∈ R incogniti, e sostituiamo tale rappresentazione nell’equazione sopra, per ottenere i(x2−y2 + 2ixy) = 4 √ x2 +y2 ⇐⇒ − 2xy +i(x2−y2) = 4 √ x2 +y2. Eguagliando parte reale e parte immaginaria di entrambe i termini dell’equazione, si vede che le incognite reali x e y soddisfano il sistema    −2xy = 4 √ x2 +y2, x2−y2 = 0, ⇐⇒    2 √ x2 +y2 +xy = 0, x2 =y2. La seconda equazione del sistema possiede le soluzionix =y ex =−y. Sostituendo nella prima equazione e ricordando che x,y̸= 0,, abbiamo, rispettivamente 2 √ 2|x| +|x|2 = 0 ⇒ 2 √ 2 =−|x| non ammette soluzioni e 2 √ 2|x|−| x|2 = 0 ⇒ 2 √ 2 =|x| ⇒ x = 2 √ 2 e x =−2 √ 2. Pertanto, le soluzioni dell’equazione sono { 0, 2 √ 2−i2 √ 2,−2 √ 2 +i2 √ 2 } . Esercizio 2. Si consideri, al variare del…