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Es. 1 Es. 2 Es. 3 T otale Analisi e Geometria 1 Prima Prova 24 Novembre 2014 Compito A Docente: Politecnico di Milano Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 10=4+4+2; Es.2: 8=2+2+4; Es.3: 12=2+4+4+2 Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Si consideri la funzione f : C\{− 1}−→ C, f(z) = 1 +iz iz +i (a) Scrivere in forma algebrica le controimmagini di w = 3 +i (ossia i numeri z∈ C per i quali f(z) =w). −8 5− 1 5i (b) Scrivere i punti fissi di f (cio` e i puntiz∈ C per i quali f(z) =z) in forma algebrica. ± √ 2 2 (1−i) (c) Scrivere i punti fissi di f in forma trigonometrica. ± ( cos (3 4π ) +i sin (3 4π )) Soluzione: (a) Le controimmagini di 3 + i sono gli z∈ C tali che f(z) = 3 +i, cio´ e 1 +iz iz +i = 3 +i⇐⇒1 +iz = 3iz + 3i−z− 1⇐⇒z =−2 + 3i 1− 2i ⇐⇒z =−8 5− 1 5i. (b) e (c) f(z) =z⇐⇒ 1 +iz iz +i =z⇐⇒1 +iz =iz2 +iz⇐⇒1 =iz2⇐⇒z2 =−i⇐⇒z = √ −i. In forma trigonometrica e algebrica, le radici quadrate di −i = cos( 3 2π) +i sin( 3 2π) sono z1,2 =± ( cos (3 4π ) +i sin (3 4π )) =± √ 2 2 (1−i). 2. Siano f e g le funzioni definite su (1, +∞) nel modo seguente: f(x) = (x + 3√x) e2x x(ex− 1) lnx g(x) = x(x + lnx) e3x x2 +√x e2x (a) Calcolare: lim x→+∞ f(x). +∞ (b) Calcolare: lim x→+∞ g(x). +∞ (c) Stabilire se g(x) ` eo(f(x)), per x→ +∞. g(x) non ` eo(f(x)), per x→ +∞. Soluzione. (a) Per x→ +∞, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: f(x) = (x + 3√x) e2x x(ex− 1) lnx∼ x e2x xex lnx∼ ex lnx per x→ +∞ Poich´ e lim x→+∞ ex lnx = +∞, si ha lim x→+∞ f(x) = +∞. (b) Per x→ +∞, valgono le seguenti equivalenze asintotiche: g(x) = x(x + lnx) e3x x2…