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Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e d ell’Informazione Analisi e Geometria 1 - Prima Prova - 24 Novembre 2015 Terza parte (Compito A) 1. a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi S := {z ∈C :0 ≤ |z| ≤ 1 , 0 ≤ Arg(z) ≤ π 4 } T := {w ∈C : w = ( √ 2 2 + i √ 2 2 ) z + iz ∈S} . Insieme S: settore circolare con centro in (0 , 0), raggio 1 e angoli tra 0 e π 4 . Insieme T : il coe fficiente che moltiplica z puo’ essere riscritto come: 1 ( cos π 4 + icos π 4 ) ; quindi T ruota di + π 4 attorno all’origine e diventa un settore circolare con centro in (0 , 0), raggio 1 e angoli tra π 4 e π 2 . Sommando infine i, l’insieme T e’ un settore circolare con centro in (0 , 1), raggio 1 e angoli tra π 4 e π 2 . b) Determinare le soluzioni complesse z ∈C dell’equazione (z − 1)3 = i e scriverne le soluzioni in forma algebrica. Sostituzione w = z − 1. w3 = i ⇒ w = 3√ i ⇒ w = 3 √ 1 ( cos π 2 + icos π 2 ) Quindi: w1 =1 ( cos π 6 + icos π 6 ) = √ 3 2 + i 1 2 w2 =1 ( cos 5π 6 + icos 5π 6 ) = − √ 3 2 + i 1 2 w3 =1 ( cos 3π 2 + icos 3π 2 ) = −i Infine: z1 = w1 +1= ( 1+ √ 3 2 ) + i 1 2 z2 = w2 +1= ( 1 − √ 3 2 ) + i 1 2 z3 = w3 +1=1 − i Politecnico di Milano, Scuola di Ingegneria Industriale e d ell’Informazione Analisi e Geometria 1 - Prima Prova - 24 Novembre 2015 Terza parte (Compito B) 1. a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi S := {z ∈C :0 ≤ |z| ≤ 2 , 0 ≤ Arg(z) ≤ π 2 } T := {w ∈C : w = ( √ 2 2 − i √ 2 2 ) z − 1 z ∈S} . Insieme S: settore circolare con centro in (0 , 0), raggio 2 e angoli tra 0 e π 2 . Insieme T : il coe fficiente che moltiplica z puo’ essere riscritto come: 1 [ cos ( −π 4 ) + icos ( −π 4 )] ; quindi T ruota di −π 4 attorno all’origine e diventa un settore circolare con centro in (0 , 0), raggio 2 e angoli tra −π 4 e −π 4 . Sottraendo infine 1, l’insieme…