25 02 15

Page 1

25.02.2015 - 2 ◦ appello di STATISTICA per studenti ENE - docente: E. Piazza obbligatorio - n. iscrizione sulla lista se non ve lo ricordate siete fritti; o no? il presente elaborato si compone di 4 (quattro) pagine Cognome Nome matr.n. Avvertimento: nello svolgimento degli esercizi se una quan tità è indicata con il simbolo x conti- nuare a chiamarla x, e se si chiama W non chiamarla X, e se si chiama ti non chiamarla xi, e se si chiama ¯Tn non indicarla con ¯Xn. Se volete scrivere dipendenti non scrivete indipendenti, s e dovete sottrarre non sommate. Si fanno troppi errori di distrazion e. Mi raccomando: concentrazione. ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Si consiglia di lavorare con 3 decimali, arrotondando oppor tunamente. cI diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttam ento com me rciale non autorizzato sarà p erseguito. Problema 1 . A Mos Eisley le navi (astronavi) cargo decollano secondo un p rocesso di Poisson. Sia Nt il numero di navi che decollano nel tempo (0; t] misurato in ore, al ritmo di 6 navi all’ora. 1.1 Indicare la legge di probabilità di Nt. Sappiamo che Nt ∼ P (νt). Misurando il tempo in ore, ν = 6. Quindi: P [Nt = h] = e−6t(6t)h h! . 1.2 Quanto tempo passa mediamente fra un decollo e il successivo ? (Ricordare che il tempo T che intercorre tra due eventi di Poisson è una variabile esponenziale di par ametro (???)) Sia T il tempo di attesa fra due decolli. Allora E[T ] = 1 /ν = 1/6 ore = 10′. 1.2 Trovare il minimo tempo di attesa t0 perché la probabilità di assistere ad almeno un decollo nel t empo (0; t0] sia maggiore o uguale a 99.9%. Cerco t tale che P (Nt ≥ 1) ≥ 0.999 P (Nt ≥ 1) = 1 − P [Nt ≤ 0] = 1 − P [T > t ] = 1 − e−νt 1 − e−νt ≥ 0.999 e−νt ≤ 0.001 −νt ≤ ln 0.001 νt ≥ ln 1000 t ≥ ln 1000 ν = t0 ≃ 1.1513 ore cioè 69.078 min cioè 1…