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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale II Prov a in Itinere di Statistica per Ingegneria Energetica 25 luglio 2011 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. Uno studente si presenta ad un esame senza aver studiato. L’esame consiste in un test a crocette, di 10 domande, ognuna con 4 possibili risposte. Lo studente risponde a caso a tutte le domande. (a) Determinare il numero atteso di risposte corrette ottenute rispondendo a caso, e la relativa varianza, dopo aver definito un’opportuna variabile aleatoria. (b) Calcolare la probabilità che lo studente non dia nessuna risposta corretta. (c) L’esame viene considerato sufficiente se vengono date almeno 8 risposte corrette. Calcolare la probabilità che lo studente passi l’esame. (d) Nel caso in cui l’esame fosse invece composto da solo 6 domande, con 3 possibili risposte, e che la sufficienza venga raggiunta con almeno 5 risposte corrette, quale sarebbe la probabilità di passare l’esame? Quale delle due modalità d’esame sarebbe quindi più vantaggiosa per lo studente? Soluzione. (a) SiaX il numero di risposte corrette ottenute risponendo a caso alle 10 domande. Dato che le risposte alle domande sono indipendenti,X∼ Bin(n,p ) con n = 10 pari al numero di domande ep = 1/4 pari alla probabilità di rispondere correttamente ad una domanda. Il numero medio di risposte corrette è pari a E[X] = np = 10/4 = 2 .5 e la varianza è pari a Var (X) =np(1−p) = 15/8 = 1.875. (b) P (X = 0) = (10 0 ) p0(1−p)10 = (3 4 )10 = 0.0563 (c) P (X≥ 8) =P (X = 8) +P (X = 9) +P (X = 10) = (10 8 ) p8(1−p)2 + (10 9 ) p9(1−p) + (10 10 ) p10(1−p)0 = 0.00042. (d) Sia Y ∼ Bin(6, 1/3) il numero di risposte corrette con la nuova modalità d’esame…