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Docenti: D. Cassani, F. Cipriani, C. Perelli Cippo, I. Sabadini Analisi II - 26/04/10 - prova intermedia - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante Esercizio 1. (a) Rispondere alle seguenti domande (usare, se necessario, il retro del foglio): i) di che tipo sono le matrici associate ad una fissate applicazione lineare f :Rp →Rq ? ii) che cosa rappresentano le loro colonne ? iii) enunciare e dimostrare il teorema dimensionale (detto della nullit` a pi´ u rango). Le matrici sono di tipo q × p ; le colonne rappresentano i trasformati della base fissata in Rp e generano lo spazio vettoriale Im f , sottospazio di Rq ; dim Ker f + dim Im f = p. (b) Sia γ ∈R e sia: A =   2 −6 0 −1 3 γ −1 3 0   la matrice associata all’applicazione lineare f : R3 − →R3 rispetto alla base canonica {e1, e2, e3}. Determinare γ in modo che esista v ∈R3 \ {0}tale che f (v) = −v. La condizione richiesta ` e che −1 sia autovalore di A: per trovare γ imporremo allora det[A + I] = 0 . det[A + I] = det   3 −6 0 −1 4 γ −1 3 1   = 6 − 3γ che ` e nullo perγ = 2. (c) Per il valore di γ trovato al punto precedente, determinare una base per Ker f e Im f . dim Im f ` e il rango di A . Ora in A le prime due colonne sono proporzionali, mentre la terza riga ` e indipendente da loro: perci` odim Im f = 2 e una base ` e costituita da una delle prime due colonne con la terza. Si ha dim Ker f = 3 − dim Im f = 1. Risolvendo il sistema omogeneo Ax = 0 cio` e    2x − 6y = 0 −x + 3y + 2z = 0 −x + 3y = 0 { −x + 3y + 2z = 0 −x + 3y = 0    x = 3y y = y z = 0 troviamo come base di Ker f l’insieme costituito dall’unico vettore   3 1 0  . Esercizio 2. Data la matrice A =   k 1 2 1 k k 0 0 1  , k ∈R; (a) Determinare i valori di k per cui A ` e…