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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Politecnico di Milano - Ingegneria Energetica Metodi Analitici e Numerici (A) 26 Giugno 2017 Cognome: Nome: Matricola: Esercizio 1. a. Si consideri la funzione v(x,t ) =et−x−e−t + 2ex. Calcolare ∂tv(x,t )−∂2 xv(x,t ) e v(x, 0). b. Determinare la soluzione u =u(x,t ) del problema    ∂tu(x,t )−∂2 xu(x,t ) =e−t− 2ex in R× (0, +∞), u(x, 0) = 0 in R. Verificare i risultati. Soluzioni a. Derivando in t una volta ed in x due volte, si vede facilmente che ∂tv(x,t )−∂2 xv(x,t ) =et−x +e−t−et−x− 2ex =e−t− 2ex, ed ` e inoltre immediato verificare che v(x, 0) = e−x− 1 + 2ex. Riassumendo, v ` e una soluzione della seguente equazione del calore non omogenea    ∂tv(x,t )−∂2 xv(x,t ) =e−t− 2ex in R× (0, +∞), v(x, 0) =e−x− 1 + 2ex in R. b. Cerchiamo una soluzione della forma u =v +w, ovev ¨E la funzione introdotta nel punto precedente e w risolve la seguente equazione del calore omogenea    ∂tw(x,t )−∂2 xw(x,t ) = 0 in R× (0, +∞), w(x, 0) =−e−x + 1− 2ex in R. In base al principio di sovrapposizione (linearit` a dell’equazione del calore), tale funzione u ` e soluzione del problema proposto. Posto Kt(x) = (4πt)−1/2e− x2 4t (nucleo del calore ) e φ(x) = 1−e−x− 2ex (dato iniziale), utilizzando la formula fondamentale abbiamo quindi che w(x,t ) = (Kt∗φ) (x) = 1√ 4πt ∫ +∞ −∞ e− y2 4t [ 1−e−(x−y)− 2ex−y ] dy = 1√ 4πt [∫ +∞ −∞ e− y2 4tdy−e−x ∫ +∞ −∞ e− y2 4t +ydy− 2ex ∫ +∞ −∞ e− y2 4t−ydy ] . Per calcolare esplicitamente gli integrali alle riga sopra, ricordiamo preliminarmente l’identit` a gaussiana ∫ +∞ −∞ e−z2 dz =√π. Utilizzando le identit` a immediate y2 4t = ( y√ 4t )2 , e y2 4t±y = (y± 2t)2 4t −t = (y± 2t√ 4t )2 −t deduciamo che ∫ +∞ −∞ e− y2 4tdy = ∫ +∞ −∞ e− “ y√ 4t ”2 dy = [ poniamo z = y√ 4t ⇐⇒ dy = √ 4tdz ] = √ 4t ∫ +∞ −∞ e−z2 dz = √ 4πt, e ∫…