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Analisi e Geometria 1 Prima Prova 26 Novembre 2013 Compito A Docente: *** Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Punteggi degli esercizi : Es.1: 6 punti; Es.2(a): 11 Es.2(b): 6 Es.2(c): 3 Es.2(d): 7 1. Si consideri la trasformazione F : C→ C , definita da F (z) = ei π 2 z + 1 + i per ogni z∈ C . (a) Stabilire se esistono punti fissi di F , cio` e punti z∈ C tali che F (z) = z . In caso affermativo, scrivere tali numeri in forma algebrica. (b) Disegnare sul piano di Gauss il quadrato Q ={z∈ C : 0 ≤ Rez≤ 1, 0≤ Imz≤ 1} e la sua immagine F (Q) ={w∈ C : ∃z∈Q (w =F (z))}. 2. Si consideri la funzione f : R→ R definita da f(x) = ex √ e2x + 1 per ogni x∈ R . (a) i. Dimostrare che la funzione f ` e crescente su R . ii. Calcolare i limiti lim x→−∞ f(x) e lim x→+∞ f(x) e determinare l’immagine I di f . iii. Determinare gli eventuali punti di flesso della funzione f . iv. Disegnare il grafico qualitativo della funzione f . (b) i. Dimostrare che la funzione f : R→I ` e invertibile. ii. Calcolare la derivata della funzione inversa ˆf nel punto y0 = 1√ 2 . iii. Disegnare il grafico qualitativo della funzione inversa ˆf :I→ R . (c) Dimostrare che l’equazione f(x)−x3 = 0 possiede almeno una soluzione nell’intervallo [−1, 1] . (d) i. Scrivere lo sviluppo di MacLaurin della funzione f troncato al secondo ordine, con resto secondo Peano. ii. Calcolare il limite L = lim x→0 √ 2f(x)−√1 +x + 3x2 x ln(1 +x) + cosx− 1 . Soluzioni 1. Ricordando che eiθ = cosθ + i sinθ , si ha ei π 2 = i e quindi F (z) = iz + 1 + i . (a) I punti fissi di F sono i punti z∈ C tali che F (z) =z , ossia tali che i z + 1 + i =z . Da questa equazione si ottiene esattamente una soluzione, data da z = 1 + i 1− i = (1 + i)2 2 = i. (b) Il quadrato Q ` e il quadrato y x Q 1 1 Per determinare l’immagine di Q , basta osservare…