27 06 13 sol

Page 1

Fondamenti di Automatica (Prof. Bascetta) Seconda prova scritta intermedia Anno accademico 2012/2013 27 Giugno 2013 Soluzioni Esercizio 1 1.1 Il diagramma di Bode del modulo di L taglia l’asse a 0 dB approssimativamente alla pulsazione 3 rad/s. Calcolo del margine di fase:           3.21 7.1597.165.71210 3arctan1 3arctan2 m c In base al criterio di Bode il sistema in anello chiuso è asintoticamente stabile. 1.2 Il diagramma polare di L si traccia facilmente tenendo conto che la fase passa da 0 a 270°. Il punto corrispondente a c, utilizzato per il calcolo del margine di fase, si trova all’intersezione del diagramma con la circonferenza di centro l’origine e raggio 1. Il punto corrispondente a , utilizzato per il calcolo del margine di guadagno, si trova all’intersezione del diagramma con il semiasse reale negativo. 1.3 Poiché il margine di fase è piccolo, è opportuno approssimare la funzione di trasferimento del sistema in anello chiuso con quella di un sistema del secondo ordine:  22 2 2 cc c ss sF   Lo smorzamento  dei poli può essere valutato con la formula: 18.02sin       m Tempo di assestamento al 99%:  52.8318.0 6.4100ln 1  c a 1.4 Il termine aggiuntivo non modifica il diagramma di Bode del modulo ma dà un decremento di margine di fase:     0627.03 65.10tan65.103arctan03arctan23.21 m 10 -1 10 0 10 1 10 2 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 dB w (rad/s) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Re Im c Esercizio 2 2.1 Per ottenere errore nullo a regime, occorre una funzione di trasferimento d'anello di tipo 1. Poiché il sistema sotto controllo è di tipo 0, il regolatore deve essere di tipo 1, mentre il guadagno del regolatore è arbitrario: Il requisito di…