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Analisi Matematica II - 29/04/13 - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante T utti i calcoli devono essere riportati per la correzione, e le risposte devono essere giustificate . Domanda 1 . (a) Dire che cosa significa che f (x, y) ` e continua in un punto (x0, y0) ed enunciare il teorema degli zeri. (b) Studiare il segno della funzione f (x, y) = |x| − |y|. Soluzione (a) Teorema degli zeri, si veda un qualunque libro di testo; (b) Due vie, la prima esclusivamente algebrica, la seconda pi` u raccontata. (b.1) x2 − y2 > 0 ⇐ ⇒ x2 > y 2 ⇐ ⇒ |x|> |y| x2 − y2 = (x + y)(x − y) > 0 A1 = (x, y) ∈R2 : { x + y > 0 ⇐ ⇒ y > −x x − y > 0 ⇐ ⇒ y < x A2 = (x, y) ∈R2 : { x + y < 0 ⇐ ⇒ y < −x x − y < 0 ⇐ ⇒ y > x Il grafico corrisponde alla figura dell’allegato figura.jpg. (b.2) f (x, y) = |x| − |y| ` e continua inR2, quindi A = {(x, y) : f (x, y) > 0}` e aperto. Invece C = {(x, y) : f (x, y) = |x| − |y|= 0}` e chiuso ed ` e rappresentato dalle due rette: y = x y = −x Queste rette spezzano R2 in 4 parti, A1, A2, B1, B2, ciascuna delle quali ` e connessa. Ora, per esempio, ` e (1, 0) ∈ A1 : f (1, 0) > 0 = ⇒ ∀ (x, y) ∈ A1 =⇒ f > 0 per il teorema degli zeri. Ripetendo lo stesso ragionamento in altri punti si conclude che: (x, y) ∈ A1 =⇒ f > 0 (x, y) ∈ A2 =⇒ f > 0 (x, y) ∈ B1 =⇒ f < 0 (x, y) ∈ B2 =⇒ f < 0 e A1 ∩ A2 ∩ B1 ∩ B2 =∅. 1 Domanda 2 (a) Si dia la definizione di nucleo di un’applicazione lineare. (b) Si dimostri che il nucleo di un’applicazione lineare f : V → W ` e un sottospazio vettoriale di V . Soluzione (a) Si veda un qualunque libro di testo. (b) Si veda un qualunque libro di testo. Domanda 3 (a) Dare la definizione di base di uno spazio vettoriale. (b) Si spieghi perch` e {v1, v2, v3, v4} ⊂R3 non ` e una base diR3. Soluzione…