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1 SOLUZIONI PROVA SCRITTA DI AUTOMATICA I (Prof. Bittanti, BIO A-K) 30 Gennaio 2008 1. Si consideri il seguente sistema dinamico lineare a coefficienti costanti a tempo continuo: 12 1 2 22 1 32 12 2x xu u xx u xx yxu =+ −⎧ ⎪ =−⎪⎨ =⎪ ⎪ =+⎩    1.a Si determinino le funzioni di trasferimento del sistema, da u1(t) ad y(t) e da u2(t) ad y(t), per condizioni iniziali nulle. 1.b Il sistema è asintoticamente stabile? Perché? 1.c Si determini l’espressione analitica della risposta y(t) del sistema quando gl i ingressi valgono 1() () tut e s c a t= e 22 2 1() 2 c o s ( 4) () ( 4) () 2 ttu t t e sca t sin t e sca t⎡⎤=+ ⎢⎥⎣⎦ . Si giustifichi accuratamente la risposta. Soluzione 1.a Applicando la trasformazione di Laplace membro a membro al sistema 12 1 2 22 1 32 12 2x xu u xx u xx yxu =+ −⎧ ⎪ =−⎪⎨ =⎪ ⎪ =+⎩    si ottiene, nell’ipotesi che 123(0) (0) (0) 0xx x === , 12 1 2 22 1 32 12 () () 2 () () () () () () () () () () sX s X s U s U s sX s X s U s sX s X s Ys X s U s =+ −⎧ ⎪ =−⎪⎨ =⎪ ⎪ =+⎩ Si trova pertanto che 1 11 2 1 1 2 1 2 32 12 2 1 2 () 2 2 1 1() 2 () () () () ()1( 1 ) ()() 1 () () 22 1 1 23 1() () () () () ()(1 ) (1 ) Us ssX s U s U s X s U s U sss s s UsXs s sX s X s ss sY s U s Us Us U s Usss s ss s −− −⎧ =+ − ⇒ = −⎪ −−⎪ −⎪ =⎪ −⎨ ⎪ =⎪ −− − −⎪ =− + = +⎪ −−⎩ e quindi la f.d.t. del sistema da u1(t) ad y(t) risulta 2 1 1 () 0 () 2 3() : () ( 1 )ut Ys sGs Us s s = −== − mentre quella da u2(t) ad y(t) risulta 1 2 2 () 0 () 1() : () ut Ys sGs Us s = −== . 2 1.b La f.d.t. G1(s) ha un polo reale positivo (di valore 1), il ch e permette di affermare che il sistema non è asintoticamente stabile, bensì instabile. Alternativ amente, si possono esaminare gli autovalori della matrice dinamica A del sistema: 1,2 3 010 1 0 010 d e t ( ) d e t 0 10 ( 1 ) 0 0 1 010 0 1 AI A λ λλ λ λ λ…