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Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T otale Analisi e Geometria 1 Secondo compito in itinere 30 Gennaio 2012 Compito A Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi : Es.1: 8 punti; Es.2: 8 punti; Es.3: 8 punti; Es.4: 8 punti. Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate . Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit a , sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Sia un parametro reale e sia F : [1; +1) ! R la funzione definita da F (x) = ∫ x 1 e1=t 1 t p 1 + t3 dt : (a) Si mostri che, per ogni valore del parametro , la funzione F ` e strettamente crescente sull’intervallo [1 ; +1) . (b) Si determinino i valori del parametro in corrispondenza dei quali la funzione F ammette un asintoto orizzontale per x ! +1 . Soluzione. (a) Essendo una funzione integrale, la funzione F ` e derivabile su tutto l’intervallo su cui ` e definita e F ′(x) = e1=x 1 x p 1 + x3 : Poich´ eF ′(x) > 0 per ogni x  1 , la funzione F ` e strettamente crescente su tutto l’intervallo [1; +1) . (b) La funzione F possiede un asintoto orizzontale per x ! +1 quando esiste finito il seguente limite lim x→+∞ F (x) = lim x→+∞ ∫ x 1 e1=t 1 t p 1 + t3 dt = ∫ +∞ 1 e1=t 1 t p 1 + t3 dt : Si tratta quindi di studiare la convergenza, al variare del parametro reale , dell’integrale generalizzato I = ∫ +∞ 1 e1=t 1 t p 1 + t3 dt : Come abbiamo gi` a osservato, la funzione f (t) = e1=t 1 t p 1 + t3 ` e strettamente positiva per ogni t  1 . Inoltre essa ` e continua per ogni t  1 . Infine, per t ! +1 , si ha 1 =t ! 0 e quindi f (t)  1=t t t 3 2 = 1 t + 5 2 : Questa funzione, e quindi per il teorema dell’equivalenza asintotica anche la funzione f (t) , ` e integrabile esattamente per + 5 2 > 1 ,…