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- University
- Politecnico di Milano
- Degree programme
- Aerospace Engineering
- Subject
- Fisica delle Onde
- Material language
- Italian
- Classification
- Exam · Full exam
- Content
- Exam paper only
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ExamFull examExam paper onlyItalian
30 01 2023
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Fisica delle OndeFull exam
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I appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2022/23 - 30/01/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Posto:________ Consegna: Campi � Onde � Relativita’ � Dimostrazione � Campi (25pt) (v1) Si consideri un circuito chiuso costituito da una bobina di 𝑁𝑁 = 150 spire di raggio 𝑎𝑎 = 8 𝑐𝑐𝑐𝑐, resistenza 𝑅𝑅 = 75 Ω e auto-induttanza trascurabile. La bobina puo’ ruotare attorno ad un suo diametro posto lungo l'asse 𝑧𝑧 e perpendicolare ad un campo magnetico uniforme e costante 𝐵𝐵 �⃗ = 𝐵𝐵𝑥𝑥�, con 𝐵𝐵 = 0.8 𝑇𝑇. Si assuma che la bobina sia mantenuta in moto rotatorio uniforme con legge oraria 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = 𝜔𝜔𝜔𝜔 da una coppia di forze esterne, dove 𝜔𝜔 = 25 (𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟)𝑠𝑠 −1 e 𝜃𝜃 e’ l'angolo orientato che il versore 𝑛𝑛� normale al piano della bobina forma con il campo magnetico 𝐵𝐵 �⃗. C.1) Calcolare l’espressione del flusso totale Φ(𝐵𝐵) del campo magnetico 𝐵𝐵 �⃗ attraverso la bobina in � ̅ funzione del tempo e se ne calcoli il valore numerico, Φ, per 𝜃𝜃 = 10𝜋𝜋. [4pt] C.2) Calcolare l’espressione della corrente che scorre nella bobina, 𝐼𝐼(𝑡𝑡), in funzione del tempo e si calcoli il suo valore, 𝐼𝐼1 , per 𝑡𝑡1 = 4 𝑠𝑠 [5pt] C.3) Calcolare l’espressione del momento torcente della coppia di forze, 𝑀𝑀𝑧𝑧 (𝑡𝑡), che agisce sulla spira e il suo valore numerico, 𝑀𝑀1 , per 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡1 [5pt] C.4) Calcolare l’espressione della potenza, 𝑃𝑃𝑀𝑀 (𝑡𝑡), erogata dal momento torcente esterno e se ne calcoli la media su un periodo < 𝑃𝑃𝑀𝑀 >. [5pt] Assumendo ora che la bobina abbia resistenza trascurabile, che la sua autoinduttanza sia 𝐿𝐿 = 10 𝑚𝑚𝑚𝑚 e sia 𝐼𝐼𝐿𝐿 (0) = 0: C.5) Calcolare l’espressione della corrente nella bobina, 𝐼𝐼𝐿𝐿 (𝑡𝑡), in funzione…
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I appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2022/23 - 30/01/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Posto:________ Consegna: Campi � Onde � Relativita’ � Dimostrazione � Relativita’ (28pt) (v1) Una sorgente di luce, a riposo nel sistema di riferimento S, emette radiazione di lunghezza d'onda λ=600nm che incide normalmente su uno specchio. Lo specchio si muove con velocità 𝑽𝑽 = 𝒄𝒄/𝟐𝟐 allontanandosi dalla sorgente. La sorgente emette un pacchetto di 𝑵𝑵 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 onde. La luce raggiunge lo specchio (evento A) quando esso dista dalla sorgente d=45km (in S) e allo stesso istante in S la sorgente esplode (evento B). Calcolare: R.1) La durata Tr’ della ricezione del pacchetto da parte di un osservatore posto in S’ solidale con lo specchio R.2) La differenza di tempo tra i due eventi ΔT’=T'A-T'B (con il suo segno) nel sistema di riferimento S' solidale con lo specchio. Risposta × 10𝑛𝑛 Unità di misura R.1) Tr’ 1.15 3.46 4.03 6.43 9.83 R.2) ΔT'AB 1.67 3.88 4.28 6.84 8.66
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I appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2022/23 - 30/01/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Posto:________ Consegna: Campi � Onde � Relativita’ � Dimostrazione � Soluzioni Campi (dati versione 1) �⃗ = Σn� , il flusso di B attraveso una spira e’ Φ1 �𝐵𝐵 C.1) La superficie di una spira e’ Σ = 𝜋𝜋𝑎𝑎 2, Σ �⃗� = 𝐵𝐵 �⃗ ⋅ Σ �⃗ = 𝐵𝐵Σ cos 𝜃𝜃. Il flusso totale attraverso la bobina di N spire e’ �⃗� = 𝑁𝑁𝐵𝐵 Φ�𝐵𝐵 �⃗ ⋅ Σ �⃗ = 𝑁𝑁𝑁𝑁Σ cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 → � = 𝑁𝑁𝑁𝑁Σ cos 𝜃𝜃̅ = 𝑁𝑁𝑁𝑁Σ = 2.41 𝑊𝑊𝑊𝑊 Φ C.2) Il flusso attraverso la bobina e’ quindi variabile nel tempo. Secondo la legge di FHL questo vi induce una f.e.m. 𝑑𝑑Φ ℰ𝑖𝑖 = − = 𝑁𝑁𝑁𝑁Σω sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 Essendo l’autoinduttanza del circuito trascurabile si puo’ scrivere 𝑁𝑁𝑁𝑁Σω 𝑁𝑁𝑁𝑁Σω ℰ𝑖𝑖 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 → 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 → 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = sin 𝜔𝜔𝑡𝑡1 = −0.41 𝐴𝐴 R R C.3) Il momento torcente su una spira piana immersa in un campo magnetico uniforme e’ 𝑀𝑀 �⃗ con 𝜇𝜇⃗ = 𝛴𝛴⃗𝐼𝐼 ��⃗1 = 𝜇𝜇⃗ × 𝐵𝐵 �⃗ = (𝐵𝐵, 0,0) momento magnetico della spira. Nel caso in questione 𝜇𝜇⃗ = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 , sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 , 0) e 𝐵𝐵 (𝑁𝑁𝑁𝑁Σω)2 ��⃗ = 𝜇𝜇⃗ × 𝐵𝐵 𝑀𝑀 �⃗ = −𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑧𝑧̂ sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 = −𝑧𝑧̂ sin2 𝜔𝜔𝜔𝜔 R Il momento torcente delle forze esterne deve essere uguale ed opposto a quello delle forze magnetiche in quanto la spira �⃗ costante. Da cui: ruota a 𝜔𝜔 (𝑁𝑁𝑁𝑁Σ)2 𝜔𝜔 (𝑁𝑁𝑁𝑁Σ)2 ω 2 ��⃗𝑧𝑧 = −𝜇𝜇⃗ × 𝐵𝐵 𝑀𝑀 �⃗ = 𝑧𝑧̂ sin2 𝜔𝜔𝜔𝜔 → 𝑀𝑀1 = sin 𝜔𝜔𝑡𝑡1 = 0.50 𝑁𝑁𝑁𝑁 R R C.4) La potenza erogata dalla coppia e’ (𝑁𝑁𝑁𝑁Σ𝜔𝜔)2 2 𝑃𝑃𝑀𝑀 (𝑡𝑡) = 𝑀𝑀𝑧𝑧 𝜔𝜔 = sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 R La potenza media su un periodo e’ (𝑁𝑁𝑁𝑁Σ𝜔𝜔)2 1 (𝑁𝑁𝑁𝑁Σ𝜔𝜔)2 < 𝑃𝑃𝑀𝑀 >=…
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I appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2022/23 - 30/01/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Posto:________ Consegna: Campi � Onde � Relativita’ � Dimostrazione � Onde (dati versione 1) O.1) Sia 𝑑𝑑 il passo del reticolo (distanza tra sorgenti contigue). Le posizioni dei massimi (di interferenza) sono date da 𝜆𝜆 sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 𝑑𝑑 La prima riga (=massimo) blu si ha quindi per 𝜆𝜆1 1 sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,1 = = sin(5.75𝑜𝑜 ) → 𝑑𝑑 = 4 × 10−6 𝑚𝑚 → 𝑛𝑛 = = 250 𝑚𝑚𝑚𝑚−1 𝑑𝑑 𝑑𝑑 O.2) I minimi di diffrazione si trovano agli angoli 𝜆𝜆 sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑛𝑛 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎 Il primo minimo di diffrazione (𝑛𝑛 = 1) si sovrappone al massimo di interferenza di ordine 4, quindi 𝜆𝜆 𝜆𝜆 𝑑𝑑 sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,1 = = sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,4 = 4 → 𝑎𝑎 = = 10−6 𝑚𝑚 𝑎𝑎 𝑑𝑑 4 O.3) L’intensita’ luminosa in funzione dell’angolo 𝜃𝜃 e’: 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 sin 𝜃𝜃 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 sin2 � � sin2 � � 𝐼𝐼(𝜃𝜃) = 𝐼𝐼0 ⋅ 𝜆𝜆 ⋅ 𝜆𝜆 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 2 sin2 � � � 𝜆𝜆 𝜆𝜆 � 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 sin 𝜃𝜃 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 sin2 � � sin2 � � Per 𝜃𝜃 = 0 si ha il massimo centrale di interferenza ( 2 𝜆𝜆 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 = 1) e il massimo di diffrazione ( 𝜆𝜆 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 2 = 1). Il sin � � � � 𝜆𝜆 𝜆𝜆 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 sin 𝜃𝜃 𝜆𝜆 sin2 � � massimo di ordine 𝑚𝑚 = 2 di interferenza si trova a sin 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,2 = 2 𝑑𝑑 , per cui (per costruzione) vale ancora 2 𝜆𝜆 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 =1 sin � � 𝜆𝜆 mentre 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 𝜋𝜋𝜋𝜋 2𝜆𝜆 𝜋𝜋𝜋𝜋 2 sin2 � � sin2 � � sin2 � 4 � 1 𝜆𝜆 𝜆𝜆 𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 = 2 = 2 = 𝜋𝜋 2 𝜋𝜋𝜋𝜋 sin 𝜃𝜃 𝜋𝜋𝑎𝑎 2𝜆𝜆 𝜋𝜋𝜋𝜋 2 � � � 𝜆𝜆 � � � � 𝜆𝜆 𝑑𝑑 4 𝑑𝑑 � 2 Di qui 2 2 𝐼𝐼2⁄0 = � � = 0.41 𝜋𝜋 O.4) Le due…
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I appello, sessione invernale - Fisica 2 per Ingegneria Aerospaziale, AA 2022/23 - 30/01/2023 Cognome e Nome: __________________________________________ Matricola: ______________ Posto:________ Consegna: Campi � Onde � Relativita’ � Dimostrazione � Relativita’ (dati versione 1) R.1) L’inizio della emissione del pacchetto e la fine della emissione del pacchetto sono due eventi (1 e 2) che avvengono in S nello stesso punto (che possiamo porre in 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 = 0) e a distanza temporale 𝑁𝑁 𝑁𝑁𝜆𝜆0 Δ𝑡𝑡21 = 𝑡𝑡2 − 𝑡𝑡1 = 𝑁𝑁𝑇𝑇0 = = = 2.0 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝜈𝜈0 𝑐𝑐 La legge oraria dello specchio (in S) e’ 𝑥𝑥𝑆𝑆 ′ (𝑡𝑡) = 𝑣𝑣𝑣𝑣 La testa del pacchetto raggiunge lo specchio al tempo 𝑡𝑡𝐴𝐴 , in quell’istante lo specchio si trova in 𝑥𝑥𝑆𝑆 ′ (𝑡𝑡𝐴𝐴 ) = 𝑣𝑣𝑡𝑡𝐴𝐴 , questa e’ la distanza percorsa dalla luce nel tempo 𝑡𝑡𝐴𝐴 − 𝑡𝑡1 , quindi 𝑐𝑐(𝑡𝑡𝐴𝐴 − 𝑡𝑡1 ) = 𝑥𝑥𝑆𝑆 ′ (𝑡𝑡𝐴𝐴 ) = 𝑣𝑣𝑡𝑡𝐴𝐴 La coda del pacchetto raggiunge lo specchio al tempo 𝑡𝑡𝐶𝐶 , in quell’istante lo specchio si trova in 𝑥𝑥𝑆𝑆 ′ (𝑡𝑡𝐶𝐶 ) = 𝑣𝑣𝑡𝑡𝐶𝐶 In modo simile a prima si scrive 𝑐𝑐(𝑡𝑡𝐶𝐶 − 𝑡𝑡2 ) = 𝑥𝑥𝑆𝑆 ′ (𝑡𝑡𝐶𝐶 ) = 𝑣𝑣𝑡𝑡𝐶𝐶 Sottraendo membro a membro 𝑐𝑐 𝑐𝑐(𝑡𝑡𝐶𝐶 − 𝑡𝑡𝐴𝐴 ) − 𝑣𝑣(𝑡𝑡1 − 𝑡𝑡2 ) = 𝑣𝑣(𝑡𝑡𝐶𝐶 − 𝑡𝑡𝐴𝐴 ) → 𝑡𝑡𝑐𝑐 − 𝑡𝑡𝐴𝐴 = (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡1 ) 𝑐𝑐 − 𝑣𝑣 2 Gli eventi C ed A nel sistema 𝑆𝑆′ rappresentano l’inizio e la fine della ricezione ed avvengono entrambi in 𝑥𝑥𝐶𝐶′ = 𝑥𝑥𝐴𝐴′ = 0 (osservatore solidale allo specchio), vale quindi: 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝐶𝐶 = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡𝐶𝐶′ + 2 𝑥𝑥𝐶𝐶′ � 𝑐𝑐 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝐴𝐴 = 𝛾𝛾 �𝑡𝑡𝐴𝐴′ + 2 𝑥𝑥𝐴𝐴′ � 𝑐𝑐 Di qui ′ ′ 1 1 𝑐𝑐 Δ𝑡𝑡𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝛾𝛾Δ𝑡𝑡𝐶𝐶𝐶𝐶 → Δ𝑡𝑡𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑇𝑇𝑟𝑟 ′ = Δ𝑡𝑡𝐶𝐶𝐶𝐶 = (𝑡𝑡 − 𝑡𝑡1 ) = 3.47 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝛾𝛾 𝛾𝛾 𝑐𝑐 − 𝑣𝑣 2 --o-- Un…
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