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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Appello di Statistica per Ingegneria Energetica 30 Giugno 2017 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Cognome, Nome e Numero di matricola: Problema 1. Le Arance Taroccate sono una nuova varietà di agrumi transgenici, il cui DNA è stato modificato in modo che ogni arancia abbia forma perfettamente sferica. Inoltre, è noto che il diametro di un’arancia taroccata qualsiasi è una variabile aleatoriaX con densità di probabilità uniforme sull’intervallo[0, l], dovel> 0 (in cm) è un parametro reale noto. (a) Calcolare media, varianza e mediana della densità diX. (b) La densità diX presenta asimmetrie? Se sì, ha la coda più lunga a destra o a sinistra? Spremendo un’arancia taroccata di diametroX, si ottiene un volumeV di succo pari a V =cX 3, dovec> 0 (adimensionale) è un altro parametro noto. In funzione dil e dic: (c) Determinare media e varianza diV. (d) Determinare la funzione di ripartizioneFV di V. Supponiamo ora chel e c siano tali per cui E [V ] = 16 cm3 Var (V ) = 329.14 cm6 Una cassetta contiene112 arance taroccate, i cui112 diametriX1,...,X 112 si possono assumere indipen- denti tra loro. (e) Spremendo tutte le 112 arance della cassetta, qual è la probabilità di ottenere un volume di succo maggiore di 2000 cm3? 1 Risultati. (a) La densità uniformeU(a,b ) è simmetrica, pertanto la sua media e la sua mediana coincidono col punto medio di[a,b ]. Di conseguenza, E [X]≡mX = a +b 2 = 0 +l 2 = l 2. La varianza invece si trova sul formulario: Var (X) = (b−a)2 12 = (l− 0)2 12 = l2 12. (b) Abbiamo già visto al punto (a) che la densità diX è simmetrica. In particolare, le sue code sono uguali. (c) Calcoliamo E [V ] = E [ cX 3] =c E [ X 3] =c…