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Prova in itinere di Analisi Matematica II (Ingegneria Informatica) SOLUZIONI - 31 Gennaio 2011 Esercizio 1 Sia F(x,y ) = (kx3y,x 4), dove k∈ R ` e un parametro: (a) Dare la definizione di campo vettoriale conservativo e fornire una condizione necessaria e sufficiente affinch´ e un campo sia conservativo. (b) Calcolare il lavoro compiuto dal campo F lungo l’arco di circonferenza unitaria che ha per estremi i punti A(1, 0) e B(1/ √ 2, 1/ √ 2). (c) Determinare il valore del parametro k affinch´ e il campoF sia conservativo. (d) Per il valore di k trovato al punto precedente, determinare il potenziale di F che si annulla nel punto (0, 1). SOLUZIONE: (b) Il cammino assegnato ` e parametrizzato da γ : { x(t) = cost, y(t) = sint, γ′ : { x(t) =− sint, y(t) = cost, , θ ∈ [ 0, √ 2 2 ] . Segue che L = ∫ π 4 0 (−k cos3θ sin2θ + cos5θ)dθ = ∫ π 4 0 cosθ ( − (k + 2) sin2θ + (k + 1) sin4θ + 1 ) dθ = [ −k + 2 3 sin3θ + k + 1 5 sin5θ + sinθ ] π 4 0 = √ 2 120(−7k + 43) (c) Poich´ e il campo vettoriale ` e definito e di classeC 1 su R2, che ` e semplicemente connesso, esso ` e conservativo se e solo se ` e irrotazionale. Si ha ∂F1 ∂y =kx3, ∂F2 ∂x = 4x3, quindi dovr` a esserek = 4. 1 (d) Detto U il potenziale del campo F , poich´ e si vuole∂U ∂y =F2 si ha U(x,y ) = ∫ F2dy +c(x) =x4y +c(x). Poich´ e si vuole anche∂U ∂x =F1 dovremo averec′(x) = 0, quindi c≡ costante. Segue che U(x,y ) =x4y +c, e imponendo che U(0, 1) = 0 si trova c = 0. Esercizio 2 (a) Enunciare il teorema di esistenza ed unicit` a locale per il problema di Cauchy { y′ =f(x,y ) y(x0) =y0 . Si ponga quindi f(x,y ) = arctan(xy) e in tal caso: (b) Determinare il dominio delle soluzioni al variare del dato iniziale ( x0,y 0) e stabilire se vale esistenza ed unicit` a locale. (c) Determinare eventuali integrali particolari…