Analitica170223sol

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Parte A Es. 1 Es. 2 T otale Metodi Analitici e Numerici 17 febbraio 2023 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Si consideri il seguente problema di Neumann per l’equazione di Laplace:    −∆u(x, y) = 0 ( x, y) ∈ (0, π)2, −uy(x, 0) = α, u y(x, 1) = 1 x ∈ (0, π), −ux(0, y) = −1, u x(1, y) = 2 y ∈ (0, π). Per quale valore di α ∈ R tale problema ammette soluzione? Motivare brevemente la risposta. Soluzione: La condizione di compatibilit` a per il problema di Neumann stabilisce che il flusso totale uscente dal dominio deve eguagliare il contributo delle sorgenti esogene. In questo caso non ci sono sorgenti e quindi il flusso totale uscente deve essere nullo, cio` e: α + 1 − 1 + 2 = 0 che implica α = −2 A.2 La seguente forma a(u, v) = Z 1 0 (u′v′ + 3uv) dx + v(0) − 2u(0) ` e bilineare? Motivare adeguatamente la risposta. Soluzione: No, tale a(·, ·) non ` e bilineare. Infatti, si verifica abbastanza facilmente che a(u1+u2, v) = Z 1 0 (u1+u2)′v′+3(u1+u2)v
dx+v(0)−2(u1+u2)(0) ̸= a(u1, v)+a(u2, v) essendo il termine v(0) lineare solo rispetto alla variabile v. Analogo discorso si pu` o fare sulla variabile v in relazione al termine −2u(0). 1 A.3 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = ( 1 − x2 per |x| < 1 0 per |x| ≥ 1. Soluzione: Si pu` o applicare la formula della derivata avendo F(f(x))(ν) = 1 (i2πν)2 F(f ′′(x))(ν). Si calcola facilmente F(f ′′(x))(ν) = Z 1 −1 −2e−i2πνx dx = . . . = −2 πν sin(2πν), da cui si deduce F(f(x))(ν) = sin(2πν) 2π3ν3 . A.4 Si calcoli tramite il metodo della trasformata di Laplace la soluzione del problema ( y′′ − y = 1 y(0) = y′(0) = 0. Soluzione: Applicando la trasformata di Laplace all’equazione si ottiene s2Y (s) − Y (s) = 1 s . Di conseguenza si ottiene Y (s) = 1 s · 1…