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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione - AA 2020/2021 I Appello di Probabilità per Ingegneria Matematica - 16 Giugno 2020 c⃝I diritti d’autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. SCRIVERE NELL’ ORDINE CODICE PERSONA, COGNOME, NOME E LE DATE PREFERITE PER L’ESAME ORALE SUL FOGLIO CHE CONSEGNERETE Esercizio 1. Sia (X, Y ) un vettore casuale con distribuzione uniforme sul triangoloT di vertici (−2, 0), (2, 0) e (0, 2). 1. Scrivere la densità di(X, Y ). 2. Calcolare: • P(0≤ X≤ Y ), • P(X 2 + Y 2≤ 2), • P(Y = X 2). 3. Determinare le leggi marginali delle variabiliX e Y. 4. Determinare media e varianza del vettore(X, Y ). 5. Le variabili casualiX e Y sono scorrelate? Sono indipendenti? 1 Risultati. 1. f(X,Y )(x, y) = 1 4111T, dove T è il triangolo di vertici(−2, 0), (2, 0) e (0, 2). 2. • P(0≤ X≤ Y ) = 1 4, • P(X 2 + Y 2≤ 2) = π 4, • P(Y = X 2) = 0. 3. X∈ [−2, 2] q.c. Se x∈ [−2, 0] allora fX (x) = 1 4 ∫ 2+x 0 dy = 1 2 + x 4. Se x∈ [0, 2] allora fX (x) = 1 4 ∫ 2−x 0 dy = 1 2− x 4, i.e. fX (x) = ( 1 2−|x| 4 ) 111[−2,2](x). Y ∈ [0, 2] q.c. e fY (y) = ( 1− y 2 ) 111[0,2](y). 4. E[X] = ∫ R xfX (x) dx = 0. Var(X) = E[X 2] = ∫ R x2fX (x) dx = 2 3 . E[Y ] = ∫ R yfY (y) dy = 2 3 . E[Y 2] = ∫ R y2fY (y) dy = 2 3 . Var(Y ) = E[Y 2]− E[Y ]2 = 2 9 . Infine Cov(X, Y ) = E[XY ] = 0 . Abbiamo quindi E [(X Y )] = (0 2 3 ) , Var ((X Y )) = ( 2 3 0 0 2 9 ) . 5. Le variabili casualiX e Y sono incorrelate. Tuttavia non sono indipendenti: basta infatti osservare che il supporto della densità congiunta è il triangolo T che è diverso dal prodotto dei supporti delle densità marginali dato dal rettangolo [−2, 2]× [0, 2]. 2 Esercizio 2. Neville gioca con un dado a sei facce: lancia il dado ripetutamente e "punta" sul6.…