Calcolo integrale esercizi svolti

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Analisi Matematica I Calcolo integrale Esercizi svolti 1. Si consideri la funzione f (x) = √ 4 − x2. a) Verificare che la funzione F (x) = x 2 √ 4 − x2 + 2 arcsin x 2 ` e una primitiva di f (x) sull’intervallo ( −2, 2). b) Verificare che la funzione G(x) = x 2 √ 4 − x2 + 2 arcsin x 2 − π 3 ` e la primitiva di f (x) sull’intervallo ( −2, 2) che passa per P= (1 , √ 3 2 ). 2. Verificare che le funzioni F (x) = sin 2 x + 7 e G(x) = − 1 2 cos(2x) − 11 sono due primitive di una stessa funzione f (x) su R; trovare f (x) e dire di quale costante differiscono F (x) e G(x). 3. Usando le tabelle degli integrali elementari, calcolare i seguenti integrali inde- finiti: a) ∫ √ 2x + 5 d x b ) ∫ x√ (x2 + 5)3 dx c) ∫ x3 ( 8 + x4) − 5 3 dx d ) ∫ 3ex 1 + e2x dx e) ∫ 1 x √ 1 − log2 x dx f ) ∫ 1 x(log x)2/3 dx g) ∫ xex2 dx h ) ∫ tan x dx i) ∫ 1 sin 2x dx j ) ∫ 7x cos(3x2 − 5) d x k) ∫ cos x √ sin x dx ℓ ) ∫ x cos2(3x2 + 5) dx 4. Calcolare per parti i seguenti integrali: a) ∫ x sin x dx b) ∫ 2xe−x dx c) ∫ log(1 + x) d x d) ∫ 2x log(x − 5) d x e) ∫ x log2(5x) d x f) ∫ (x + 1)2 cos x dx g) ∫ 2x arctan x dx h) ∫ ex sin x dx i) ∫ √ 1 − x2 dx c⃝2006 Politecnico di Torino 1 Analisi Matematica I Calcolo integrale 5. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali: a) ∫ 2x2 − 3x + 7 x − 5 dx b ) ∫ 3x − 4 x2 − 6x + 8 dx c) ∫ 3x x3 − 1 dx d ) ∫ 9x + 8 x3 + 2x2 + x + 2 dx e) ∫ x5 − 3x4 + x + 3 x2 − 1 dx f ) ∫ x5 − x + 1 x4 + x2 dx 6. Calcolare i seguenti integrali, usando le opportune sost ituzioni: a) ∫ ex e2x − 3ex + 2 dx b ) ∫ sinh x cosh x + 1 dx c) ∫ x + √x − 1 x − 5 dx d ) ∫ 1√ 2x( 3√ 2x + 1) dx e) ∫ √ 1 − x2 dx f ) ∫ √ 1 + x2 dx g) ∫ √ x2 − 1 d x h ) ∫ 2 (1 + tan x)2 dx i) ∫ cos x − 3 sin2 x − cos3 x + 1 sin x dx j ) ∫ 1 4 sin x + 3 cos x dx 7. Calcolare i seguenti integrali definiti: a) ∫ 1 0 x…