Campi vettoriali

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Lunedí 9 Novembre, martedí 10 Novembre 2009 Campi vettoriali. Un campo vettoriale definito in un aperto A di R n è una funzione vettoriale F da A a Rn (Unica richiesta è che la dimensione dello spazio di arrivo di F sia la stessa della dimensione dello spazio di partenza). Esempi di campi vettoriali sono dati dai gradienti delle funzioni : datauna funzione f : A /u2192R di classe C1, in ogni punto possiamo considerare il campo verroriale F/ue0a2x/ue0a3/u003dgrad f/ue0a2x/ue0a3 I campi vettoriali F che sono gradienti di una funzione si chiamano conservativi e le funzioni f di cui essi sono i gradienti si chiamano potenziali o primitive del campo F. Condizione necessaria perchè un campo sia conservativo. Se il campo vettoriale è di classe C 1 definito in un aperto D di R2 e se indichiamo con A, B le sue due componenti allora se F è conservativo deve valere la seguente relazione in tutti i punti di D : Ay /u003dBx Se il campo è definito in un aperto di R3 e se indichiamo con A, B, C le sue componenti, la condizione necesaria per essere conservativo é che sia soddisfatto il seguente sistema Ay /u003dBx Az /u003dCx Bz /u003dCy Quando sono soddisfatte queste condizioni il campo si dice irrotazionale o anche che il suo rotore è nullo. Il rotore di un campo C1 viene infatti definito in questo modo: rot /ue0a2F/ue0a3/u003ddet i j k /u2202 /u2202x /u2202 /u2202y /u2202 /u2202z A B C /u003d/ue0a2Cy /u2212Bz, Az /u2212Cx, Bx /u2212Ay/ue0a3 Integrale di un campo lungo un cammino (Vien detto "lavoro" se il campo è c onsiderato come un campo di forze). Dato un campo vettoriale F definito e continuo in un aperto D e dato un cammino regolare /u03b3 : /ue0a4a, b/ue0a5/u2192D con sostegno contenuto in D definiamo integrale di F lungo /u03b3nel seguente modo: /u222b /u03b3 F /u003d/u222b…