Collection of exams 2010 2011

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Analisi 1 con Geometria - 8/11/10 - prova in itinere - Ing. Ges tionale - A Esercizio 1. Enunciare e dimostrare il Teorema della Permanenza del Segno per s uccessioni reali. Cal- colare poi il limite della successione an = n3 sin ( 1 n4 ) , e verificarlo usando la definizione. Svolgimento. Per l’ enunciato e la dimostrazione del Teorema si consulti un libro di teoria. Calcoliamo il limite richiesto, ricordando che lim n→ +∞ n4 sin (1 n4 ) = 1. lim n→ +∞ n3 sin ( 1 n4 ) = lim n→ +∞ n3 n4 · n4 sin ( 1 n4 ) = lim n→ +∞ 1 n = 0. Per verificare tale limite, ricordiamo che sin x ≤ x per ogni x ∈ (0, 1 2 π ). Visto che 0 < 1 n4 ≤ 1 ≤ 1 2 π, allora sin (1 n4 ) ≤ 1 n4 . Sia allora ε > 0. Abbiamo |n3 sin ( 1 n4 ) | ≤ |n3 1 n4 |= |1 n |< ε per n > 1 ε = b ∈ R, e quindi il limite ` e verificato. Esercizio 2. Data la funzione f : I → R il cui grafico ` e riportato di seguito, costruire il grafico delle funzioni f (2x − 2), f (1 + |x|). y x0 − 2 − 1 2 − 1 2 Svolgimento. Con facili calcoli si ottengono i due grafici richiesti. Il grafico di f (2x − 2) ` e quello di sinistra, mentre quello di f (1 + |x|) ` e a destra. y x0 1 2 2 1 − 1 2 y x− 1 1 2 1 Esercizio 3. Calcolare le soluzioni dell’ equazione ( z − i)3 = z − i, con z ∈ C, e z − i complesso coniugato di z − i. Detta w l’ unica soluzione dell’ equazione con parte reale positiva, calcolare e d isegnare le radici terze di w2. 1 2 Svolgimento. Posto z − i = ρeiθ, l’ equazione diventa ρ3e3iθ = ρe− iθ, visto che il complesso coniugato di un numero complesso ha lo stesso modulo del numero iniziale, ma arg omento opposto. Si vede subito che ρ = 0 risolve l’ equazione. La prima soluzione dell’ equazione ` e allora z1 − i = 0 , ossia z1 = i, visto che 0 ` e l’ unico numero complesso ad avere modulo nullo. Sia quind i ρ ̸= 0 . L’ equazione allora…