Completed notes of the course

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Analisi II Carlo Bettinelli, Ingegneria biomedica PoliMI, A.S. 2020/2021 Indice 1 Lo spazio Rn 4 1.1 Struttura vettoriale di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Struttura metrica di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Struttura topologica di Rn: intorni sferici e insiemi aperti, non aperti, chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Punti interni, esterni e di frontiera . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Insiemi limitati e compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Curve in Rn 10 2.1 Curva semplice, curva aperta e curva chiusa . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Limite per curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Curva continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Curva derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Lunghezza di curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5.1 Condizione sufficiente di rettificabilit `a . . . . . . . . . . . 15 2.6 Unione di curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Analisi per funzioni di pi `u variabili 17 3.1 Limiti per funzioni f :A⊆ Rn→ R . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Teorema di unicit `a del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 Criterio di esistenza del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3.1 Teorema del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.4 Teorema di confronto per infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4.1 Algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.5 Permanenza del segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.6 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22…