Curve e integrali curvilinei

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CUR VE REGOLARI E INTEGRALI CUR VILINEI DI PRIMA SPECIE ING. GESTIONALE, POLITECNICO DI MILANO 1. Esercizi Esercizio 1. Nel piano Oxy determinare un’ equazione parametrica di (1) la retta per il punto A(1, 0) e parallela al vettore v = (2, 1); (2) la retta per il punto B(1, 1) ed ortogonale al vettore v = (−1, 1); (3) la retta per il punto C(0, 1), formante un angolo di π/3 col vettore j = (0, 1) e che incontra l’ asse x in un punto di ascissa positiva; (4) il segmento di estremi A(1, 2) e B(2, 5). Esercizio 2. Nel piano Oxy determinare un’ equazione parametrica di (1) la circonferenza di centro C(1, 0) e raggio 2; (2) la circonferenza di centro C(1, 1) e tangente alla retta r : x − y + 3 = 0; (3) la circonferenza di centro C(1, 2) che stacca sulla retta r : x − y = 0 una corda di lunghezza √ 2; (4) la circonferenza tangente alla retta r : x + y − 2 = 0 in A(1, 1), di raggio 2 ed avente centro nel primo quadrante; (5) la porzione di circonferenza x2 + y2 − 2x = 0 contenuta nel quarto quadrante. Esercizio 3. Scrivere in forma parametrica le seguenti coniche: (1) 3x2 + 4y2 = 12; (2) 3x2 − 4y2 = 12; (3) xy − 2x + y = 1; (4) x = y2 − 3y + 2. Esercizio 4. Determinare un’ equazione parametrica della retta dello spazio Oxyz veri- ficante una delle condizioni seguenti: (1) passa per il punto A(1, 1, −1) ed ` e parallela al vettore v = (2, 1, 2); (2) passa per il punto B(1, 0, 1) ed ` e ortogonale ai vettori u = (1, 1, 1) e v = (2, 1, 0). Esercizio 5. Verificare se la curva L di equazioni parametriche x = t cos t, y = t sin t, t ∈ [0, 2π] ` e regolare, calcolare la retta tangente ad L nel punto P (π), e la sua lunghezza. ( L ` e detta spirale di Archimede). Esercizio 6. Verificare che la curva L di equazioni parametriche x = cos 3 t, y = sin 3 t, t ∈ [0, 2π] ` e generalmente…