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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 15 gennaio 2019 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle Telecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Scrivere l’equazione del piano tangente alla superficie di equazione z = f (x; y) = x2 2y2 nel punto A(1; 1; f(1; 1)). 2. Determinare il campo di esistenza della funzione f definita da f (x; y) = √ log(y2 x) e disegnarlo. 3. Sia f la funzione, periodica di periodo 2, definita su ( 1; 1] da f (x) = x. Disegnare un grafico qualitativo di f e stabilire se la serie di Fourier di f converge totalmente su [ 2; 2]. 4. Detto Q = [0; 1] [0; 1], calcolare l’integrale doppio ∫ Q (xy + y)dxdy. 5. Stabilire se la curva in R3 di equazione r(t) = 3 sin t i + sin(2t)j + sin t k con t 2 [0; 2] è piana, chiusa, semplice. 6. Scrivere il polinomio di Taylor di secondo grado, centrato nell’origine, della funzione f definita su R2 da f (x; y) = ex+y2 1 3x + xy: 7. Calcolare la divergenza del campo vettoriale F (x; y; z) = ( x2yz; 2xy2z; 3xyz 2). 8. Stabilire, giustificando la risposta, se l’equazione y′′ + y′ = 2 ammette soluzioni limitate per t ! +1. 9. Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y′ = 2ty2. 10. Sia Y ′ = AY un’equazione vettoriale lineare omogenea, con dimA = n. Quali informazioni sulle soluzioni possono essere dedotte dalla condizione DetA = 0?
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