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Politecnico di Milano Analisi Matematica II Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Prof. E. Maluta Cognome e Nome: Matricola: 17 luglio 2017 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Stabilire se la curva inR3 di equazione r(t) = (t, 2t + 3, sint) con t∈ [0, 4π] è piana, se è chiusa, se è semplice. 2. SiaA un cerchio chiuso diR2 e siaf∈ C 1(A). Sef(x,y ) = 0 su∂A e (x0,y 0) è l’unico punto diA in cui ∇f(x,y ) = (0, 0), che cosa si può dire di(x0,y 0)? 3. Postof(x,y ) = 3xy +y2 + sin(x2y3), calcolare ∂2f ∂x∂y (0, 0). 4. Sia a0 2 +∑+∞ 1 (an cosnx +bn sinnx) la serie di Fourier della funzionef(x) = cos2x−sin2x. Determinare a1,a 2 e b1. 5. Calcolare la divergenza del campo vettorialeF (x,y,z ) = (ex,e xy,e xyz) 6. Determinare il minimo assoluto dif(x,y ) =x2 +y2−xy sulla rettax−y = 1 7. Determinare il raggio e il cerchio di convergenza di ∞∑ n=1 en(z− 1)n 3n+1 . 8. Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenzialex′′ +x =t. 9. Stabilire se il sistema di equazioni differenziali y′ = Ay, dove A = [3 1 0 −1 ] , ammette soluzioni non identicamente nulleΦ tali chelimt→+∞ Φ(t) = 0. 10. Sapendo cheφ1 e φ2 sono soluzioni rispettivamente delle equazioni differenziali lineari y′′ +a(t)y′ +b(t)y =t2 + 3t e y′′ +a(t)y′ +b(t)y =t , scrivere in funzione diφ1 e φ2 una soluzione dell’equazione y′′ +a(t)y′ +b(t)y = 4t2 + 5t.
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