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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 17 luglio 2019 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Comunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Siaf definitada f(x,y ) =y2−x2−xy. Stabilireselarestrizionedi f all’iperbolediequazione x2−y2+3 = 0 è limitata. 2. Determinare i punti critici della funzionef(x,y ) = 1 2x2−xy2 +x. 3. Determinare la natura dei punti critici della funzione del punto precedente. 4. Sia B il cerchio unitario diR2. Calcolare ∫ B xydxdy. 5. Calcolare, sulsuoinsiemedidefinizione, ladivergenzadellafunzione Fdefinitada F(x,y,z ) = ( xy,x z,e x3z2 ) . 6. Determinare l’equazione del piano normale alla curvar(t) = ( 2t2, sin(πt),e t2 ) all’istantet =−1. 7. Scrivere la serie di McLaurin associata alla funzionef(x) = x2 1−x e determinarne l’insieme di convergenza puntuale. 8. Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenzialey′′ +y′ = 2t + 2. 9. Sia f la funzione periodica di periodo2 su R tale chef(x) =|x|, per−2<x ≤ 0. Disegnare il grafico di f su [−3, 3] e stabilire in quali punti di tale intervallo la serie di Fourier converge adf. 10. Stabilire se il sistema di equazioni differenziali y′ = Ay, dove A = [3 4 2 1 ] , ammette soluzioni non identicamente nulleΦ tali chelimt→+∞ Φ(t) = 0
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