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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 19 gennaio 2018 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Determinare l’equazione del piano tangente al grafico della funzionef (x,y ) = x2− 2y2 nel punto di coor- dinate (1, 1,f (1, 1)). 2. Detta a0 2 + ∞∑ n=1 (an cosnx +bn sinnx) la serie di Fourier della funzione2π-periodica f (x) = (cos x− sinx)2, deteminare a0, a1, b1, b2. 3. Trovare tutte le soluzioni limitate suR dell’equazione differenzialey′′(t)− 4y(t) = 1. 4. Calcolare l’integrale doppio ∫ 1 0 ∫ 1 x ydydx . 5. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ∞∑ n=1 1 + logn 2n zn. 6. Calcolare la lunghezza della curva r(t) x(t) = 1− 4√ t y(t) = 2− 2 4√ t z(t) = 3− 3 4√ t (0≤t≤ 1). 7. Calcolare la divergenza del campo vettorialeu(x,y,z ) = 1945xi + 1918zj− 2018yk. 8. Stabilire se il campo vettorialev(x,y ) = 3xy ( yi +xj ) è irrotazionale. 9. Determinare il minimo assoluto della funzionef (x,y ) = log ( ex4+y2+1− 1 ) in R2. 10. Scrivere due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazioney′′′(t)−y′(t) = 0
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