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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 25 giugno 2018 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Disegnare il dominio della funzionef definita daf(x,y ) = √ (3−xy) e stabilire se è aperto, chiuso, né aperto né chiuso, limitato o non limitato. 2. Calcolare lim(x,y)→(0,1) ( xy arctan 1 xy + 3y ) . 3. Calcolare tutte le derivate direzionali della funzionef definita daf(x,y ) = 2x +y−π2 nel punto(0, 0). 4. Stabilire se la curva di equazione parametricar(t) = ( (cos 2t)3, sint ) , cont∈ [0,π ], è regolare e/o chiusa. 5. Determinare le curve di livello della funzionef(x,y ) = 3 √ x+y x2+y2 e disegnarne due, a scelta. 6. Calcolare ∫ Txdxdy oveT ={(x,y ) :x2 +y2≤ 1,x≥y}. 7. Calcolare il volume diΩ ={(x,y,z )∈ R3 : 1≤x2 +z2≤ 9∧− 1≤y≤ 1}. 8. Determinare l’insiemeA di convergenza puntuale della serie∑+∞ 2 (2x)n 1+7n. 9. Risolvere il problema di Cauchy { y′ = 2ty y(0) = 1. 10. Calcolare la divergenza del campo vettorialeF(x,y,z ) = ( log(y 3√z),y + arctan(x3ez),xz ) .
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