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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 31 agosto 2017 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Determinare e disegnare la curva di livello 3 della funzionef (x,y ) = ex2y. 2. Calcolare, nel punto (x,y ) = (7 , 6), la derivata nella direzione (e verso) della bisettrice del I quadrante della funzionef (x,y ) = x−y− √ 2. 3. Determinare il minimo assoluto suR2 della funzionef (x,y ) = log ( 1 +ex4+y2) . 4. Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze ∞∑ n=7 xn 4n + 5n. 5. Calcolare ∫ Qxdxdy doveQ è il quadrato[0, 1]× [0, 1]. 6. Fornire una rappresentazione parametrica per l’arco di circonferenza di centro(0, 1) che unisce in R2 i puntiA = (1, 0) e B = (−1, 0), orientato in senso antiorario daB ad A. 7. Determinare una soluzione (una qualunque!) dell’equazione differenzialey′′(t) + √ 3y′(t) +y(t) = 1. 8. Scrivere un’equazione differenziale lineare del II ordine a coefficienti costanti che abbia le funzioniφ1(t) = e3t e φ2(t) = e−t tra le proprie soluzioni. 9. Dato il campo(xz,y,yz 2) calcolarne il rotore. 10. Per qualiy0∈ R il problema di Cauchy { y′(x) = 5 √ y2(x) + 1 y(0) = y0 ammette unica soluzione?
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