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Politecnico di Milano Analisi Matematica II 5 febbraio 2018 Prof. E. Maluta Ing. Informatica e Ing. delle T elecomunicazioni Prima Parte Cognome e Nome: Matricola: P T 1 2 3 4 Ogni risposta va scritta nello spazio sotto il quesito e motivata con calcoli o/e spiegazioni. 1. Stabilire se il dominio della funzionef definita da log(3−xy) è aperto, chiuso, né aperto né chiuso, limitato o non limitato. 2. Siaf definita daf(x,y ) =y2−x2−xy. Stabilire se la restrizione dif alla parabola di equazioney = 3x2 è limitata. 3. Siaf(x,y,z ) = sin(xy) +z2. Scrivere il differenziale dif, relativo a un incremento(dx,dy,dz ), nel punto (0, 2, 3) 4. Stabilire se la curva di equazione parametricar(t) = ( (sint)3,t, 3t ) , con t∈ [0, 2π], è piana, regolare, chiusa. 5. Determinare il massimo e il minimo assoluti dif definita daf(x,y ) =x− 2y sull’insieme {(x,y )∈ R2 : x≥ 0∧ 0≤y≤ 1−x}. 6. Calcolare il rotore del campoF(x,y,z ) = (yz,x 2y,xz ). 7. Calcolare ∫ 1 0 (∑+∞ 0 xn+1 (n+1)! ) dx. 8. Determinare l’insiemeA di convergenza puntuale della serie∑+∞ 1 (3x− 3)n. 9. Scrivere un’equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti di ordine 2 che abbiaφ1 =e2t e φ2 =te2t tra le proprie soluzioni. 10. Stabilire se il sistema di equazioni differenziali y′ = Ay, dove A = [ 4 0 −2 1 ] , ammette soluzioni non identicamente nulleΦ tali chelimt→+∞ Φ(t) = 0 .
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