Equazioni differenziali 1

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Alcuni esercizi sulle equazioni di↵erenziali Calcolo dell’integrale generale Per ciascuna delle seguenti equazioni di↵erenziali calcolare l’insieme di tutte le possibili soluzioni. SUGGERIMENTO: Ricordatevi di fare la verifica: sostituite la soluzione cercata nell’e- quazione e verificate che l’equazione stessa ` e soddisfatta . Ad esempio, per l’equazione y0+5 y = 10, l’integrale generale ` e dato da y(x)= C e 5x + 2. La verifica consiste nel sostituire y(x)= C e 5x +2 ( d a c u iy0= 5C e 5x) nell’equazione ricavando 5C e 5x +5 C e 5x +2 = 10. 1. y0 3y + 4 = 0, 2. y0 xy =2 x 3. y0+5 y =2 s i n (x) 4. y0= x log(1 + x2) 5. y0= (x+2)y x(x+1) 6. y0= y2 x log(x) 1 x log(x) 7. y0+3 xy = x3 8. y0= 2x y x 1 Problemi ai valori iniziali a) Per ciascuno dei seguenti problemi calcolare l’unica soluzione che soddisfa sia l’equazione sia le condizioni iniziali. SUGGERIMENTO: Ricordatevi di fare la verifica, sostituite la soluzione cercata nell’e- quazione e nelle condizioni iniziali e verificate che entrambe sono soddisfatte . Ad esempio, per l’equazione y0+5 y = 10,y (0) = 4 , 1 la soluzione ` e data da y(x)=2 e 5x + 2. La verifica consiste nel sostituire y(x)= 2e 5x +2 ( d a c u iy0= 10 e 5x) nell’equazione ricavando 10 e 5x +5 2e 5x +2 = 10, e nel sostituire y(x)=2 e 5x + 2 nella condizione iniziale ricavando y(0) = 2 + 2 = 4 . 1. y0 2y = 8, y(0) = 0; 2. y0 1 x y = 0, y(1) = 2; 3. y0= y x +3 x2, y(2) = 1 per x 2 [2, +1 ); 4. y0+8 y =6 e 2x, y(0) = 3; 5. y0+5 y = 26 cos(x), y(0) = 6. b) Data l’equazione di↵erenziale, dipendente dal paramentro reale k, y0= 3xy + kx, y (0) = 0 , si determini k in modo che y(x) ⇠ x2 per x ! 0. SOLUZIONE: Si tratta di un’equazione di↵erenziale lineare e si ottiene immediata- mente l’integrale generale: y(x)= k 3 + C e 3 2 x2 C 2 R. Imponendo la condizione…