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Ingegneria Informatica e Gestionale - Politecnico di Milano - sede di Cremona Analisi Matematica II - temi d’esame a.a. 2021–2022 Primo appello - 28 gennaio 2022 LE RISPOSTE AI QUESITI V ANNO MOTIV A TE. TEORIA (SI DEVONO OTTENERE ALMENO 4 PUNTI) Domanda 1. (5 punti) Fornire la definizione di derivibalit` a e differenziabilit` a in un punto ( x0,y 0∈ R2), per una funzione f : R2→ R. Enunciare e dimostrare una condizione necessaria per la differenziabilit` a. Domanda 2. (3 punti) Definire il raggio di convergenza di una serie di potenze ed enunciare un criterio per calcolarlo. ESERCIZI Esercizio 1. (11 punti) Sia f la funzione definita su R2 da f(x,y ) = 3√y ln(x2 +y2− 1). (a) (2 punti) Determinare il dominio di f, disegnarlo nel piano, dire se si tratta di un insieme aperto, chiuso o nessuno dei due e determinare la sua frontiera. (b) (3 punti) Stabilire dove f ` e continua e dove ` e derivabile. (c) (6 punti) Disegnare il dominio D = { (x,y )∈ R2 :x2 +y2− 2≥ 0∧y≥ 0∧y≤x≤ √ 2 } . Stabilire se f ammette massimo e/o minimo assoluto su D e, in caso affermativo, determinarli. Soluzione. (a) La funzione ` e definita per x2 +y2 > 1. Il dominio D ` e un insieme aperto e la sua frontiera ` e l’insieme { (x,y ) :x2 +y2 = 1 } . y x D (b) f ` e continua nel suo dominio, poich´ e combinazione di funzioni continue. La derivata parziale di f rispetto ad x ` e definita per ogni (x,y )∈D e vale ∂xf(x,y ) = 3√y 2x x2 +y2− 1. La derivata parziale di f rispetto ad y ` e definita per ogni (x,y )∈D\ { (x,y ) :y = 0 } e vale: ∂yf(x,y ) = 1 3y2/3 ln(x2 +y2− 1) + 3√y 2y x2 +y2− 1. Studiamo l’esistenza della derivata parziale rispetto ay nei punti (x0, 0) (con|x0|> 1), utilizzando la definizione. Se x0̸=± √ 2, lim k→0 f(x0,k )−f(x0, 0) k = lim k→0 ln(x2 0 +k2− 1) k2/3 = lim k→0 ln(x2 0− 1) k2/3 = { +∞…