Esercitazione 1

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 1 23/02/2022 Argomenti: equazioni differenziali del primo ordine. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Ricordiamo di seguito i due teoremi fondamentali che trovano applicazione negli esercizi di questa lezione. T eorema 1 (Esistenza e unicità per ODE lineari). Siano a :I⊂ R e f :J⊂ R→ R e si consideri il problema di Cauchy lineare { y′(t) := a(t)y(t) +f (t) y(t0) = y0, in I. Se t0∈I, a∈C 0(I) e f∈C 0(I), allora esiste un insieme un ’unica soluzione y∈C 1(I) del problema di Cauchy. Tale soluzione soddisfa y(t) = eA(t) [ y0 + ∫ t t0 f (s)e−A(s) ds ] , dove A(t) è la primitiva di a(t) che si annulla in t0. Ricordiamo anche che l’integrale generale di una ODElineare è dato dalla formula y(t) = eA(t) [ c + ∫ f (t)e−A(t) dt ] ovec∈ R è arbitrario. Le primitive possono qui essere prese arbitrariamente. T eorema 2 (Esistenza e unicità per ODE a variabili separabili (anche non lineari)). Siano g : I ⊂ R e h :J⊂ R→ R e si consideri il problema di Cauchy lineare { y′(t) := g(t)h(y(t)) y(t0) = y0, in I, con t0 ∈ I e y0 ∈ J. Se g∈ C 0(I) e h∈ C 1(J) (con la sola continuità si ha solo esistenza, vedasi controesempio del pennello di Peano), allora esiste un insieme K⊂ I tale che t0∈ K e un ’unica soluzione y∈C 1(K) del problema di Cauchy. Inoltre, l’integrale generale dell’equazione è y(t) = H−1(G(t) +c), conH primitiva di 1 h e G primitiva di g, e c∈ R. Ricordiamo anche il teorema generale, la cui comprensione piena è ancora prematura. T eorema 3 (Cauchy). Si consideri il problema di Cauchy { y′(t) = f (t,y ), y(t0) = y0 in un qualche intervallo I⊂ R. Se la funzione f : D⊂ R2→ R, con D aperto, è continua in D e C 1(D) nel suo secondo argomento, allora per ogni (t0,y 0)∈D esiste δ >0 e un…