Esercitazione 10

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 10 30/03/2022 Argomenti: cambi di base, teoria spettrale: il problema della diagonalizzazione. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. In R3 si considerino i vettoriv1 = [1, 1, 1]T, v2 = [0, 1, 1]T e v3 = [1, 1, 0]T. 1. Verificare che{v1, v2, v3} è una base diR3 e scrivere i vettori della base canonica come combinazione lineare dei vettoriv1, v2, v3. Sia Lk : R3→ R3 l’applicazione lineare dipendente dal parametro realek tale che Lk(v1) = 2 v1, L k(v2) = 2 v2, L k(v3) = [k, 1−k, 1]T. 2. Fissata la baseB ={v1, v2, v3} nel dominio, scrivere la matrice rappresentativa diL0 rispetto (a) alla base canonica e (b) alla baseB (nel codominio). 3. A partire dai risultati ottenuti nei punti precedenti, dedurre la matrice rappresentativaA3 diLk rispetto alla base canonica su dominio e codominio. 4. Sia A2 la matrice determinata al punto 2(b). Provare cheA2 e A3 sono simili determinando una matrice P tale che A2 =P−1A3P. Cosa accade considerandoA1 al posto diA2? Soluzione. 1. È sufficiente provare che la matrice che accosta per colonne i tre vettori ha rango massimo, ovvero ha determinante non nullo, dal momento che sappiamo chedim R3 = 3. Poiché detP = det   1 0 1 1 1 1 1 1 0   =−1̸= 0, l’insieme{v1, v2, v3} è una base. Esprimere i vettori della base canonica in coordinate rispetto a questa base equivale a cercare l’inversa della matriceP, ovvero a risolvere i tre sistemi lineariP x = ei con i = 1, 2, 3. Applicando l’algoritmo di Gauss-Jordan (si noti che abbiamo mostrato cheP è invertibile) si ottiene P−1 =   1 −1 1 −1 1 0 0 1 −1  , ovvero, leggendo la matrice per colonne    e1 = v1− v2 e2 =−v1 + v2 + v3 e3 = v1− v3. 2. Si deve esprimereLk(vi) in coordinate…