Esercitazione 15

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 15 10/05/2022 Argomenti: derivabilità e differenziabilità. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Attraverso la definizione di derivata direzionale, calcolare le derivate direzionali in(1, 1) lungo la bisettrice del primo e del terzo quadrante (verso lex positive) delle funzioni f (x,y ) = x3y2, g (x,y ) = y log(x + 2), h (x,y ) = xey +yex. Soluzione. Il versore cercato è( 1√ 2, 1√ 2 ). Usiamo la definizione: lim t→0 f (1 + t√ 2, 1 + t√ 2 )−f (1, 1) t = lim t→0 ( 1 + t√ 2 )5 − 1 t = 5. Nel secondo caso lim t→0 g(1 + t√ 2, 1 + t√ 2 )−g(1, 1) t = lim t→0 (1 + t√ 2 ) log(3 + t√ 2 )− log 3 t = lim t→0 (1 + t√ 2 ) log 3− log 3 + log(1 + t 3 √ 2 ) t = lim t→0 log 3 t√ 2t + log(1 + t 3 √ 2 ) t = 3 log 3 + 1 3 √ 2 . Nel terzo caso, infine lim t→0 h(1 + t√ 2, 1 + t√ 2 )−h(1, 1) t = lim t→0 2(1 + t√ 2 )e1+ t√ 2− 2e t = lim t→0 2e (1 + t√ 2 )e t√ 2− 1 t = lim t→0 2ee t√ 2− 1 t + 2e t√ 2e t√ 2 t = 2 √ 2e. ♦ Esercizio 2 (tratto dalla seconda prova in itinere del 29/6/2017). Si consideri la funzionef (x,y ) = 3 √ x2y. 1. Calcolare le derivate parziali dif in (0, 0). 2. Calcolareladerivatadirezionaledi f lungoilversoredellabisettricedelprimoquadrantechehacomponenti positive. 3. Stabilire sef è differenziabile nell’origine. Soluzione. 1. La funzione è ben definita e continua su tuttoR2. Calcolo la derivata usando la definizione. ∂f ∂x (0, 0) = lim h→0 h 2 3· 0− 0 h = 0, e uguale per la seconda variabile. Pertanto, le derivate parziali nell’origine esistono e sono nulle. 2. La direzione èv = 1√ 2 (1, 1). Si ottiene dunque lim h→0 ( 1√ 2 ) h 2 3h 1 3− 0 h = 1√ 2. 3. Controlliamo la validità della regola del gradiente in(0, 0). Si ottiene che la derivata direzionale lungov deve…