Esercitazione 16

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 16 11/05/2022 Argomenti: considerazioni conclusive sulla differenziabilità, ottimizzazione libera. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Un’escursionista si trova vicino a un ruscello sul lato di una collina mentre sta esaminando la carta della zona. La quota del terreno (in km) in ogni punto(x,y ) è data da h(x,y ) = 20 3 +x2 + 2y2, dove x e y sono le coordinate, in km, di un punto sulla mappa rispetto alla cima del monte, che è collocata nell’origine. L’escursionista si trova nel punto(3, 2). 1. In quale direzione scorre il ruscello nel punto(3, 2) sulla mappa dell’escursionista? Quanto rapidamente scende il letto del ruscello in quel punto? 2. Calcolare l’equazione del percorso del ruscello sulla mappa. 3. Con quale angolo rispetto alla direzione del ruscello (sulla carta) dovrebbe dirigersi l’escursionista se deisdera salire la collina in modo che all’inizio il suo percorso sia inclinato di 15° rispetto all’orizzontale? 4. Fare un disegno della carta dell’escursionista, mostrando alcune curve a quota costante e disegnando il percorso del ruscello. Soluzione. 1. Il ruscello scorre nella direzione di massima discesa dih. La funzioneh è differenziabile e si ottiene ∇h(x,y ) =− 40 (3 +x2 + 2y2)2 [x 2y ] da cui si ottiene facilmente ∇h(3, 2) =− 40 400 [3 4 ] =− 1 10 [3 4 ] , e dunque il ruscello scende lungo la direzione normalizzata v =− ∇h(3, 2) ∥∇h(3, 2)∥ = 1 5 [3 4 ] . Il gradiente dih in (3, 2) misura il dislivello locale. Notando che |∇h(3, 2)| = 1 2, osserviamo che non ha unità di misura! In effetti, l’informazione che tale conto ci permette di estrapolare è che il ruscello scende di mezzo chilometro per chilometro percorso (od anche mezzo metro per metro…