Esercitazione 18

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 18 18/05/2022 Argomenti: integrazione di funzioni di più variabili reali (parte 1): integrali doppi, area di porzioni di piano, utilizzo di coordinate polari circolari ed ellittiche. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si calcoli l’area della porzione di pianoD compresa tra i grafici delle funzioni f (x) = 3 x, g (x) =−x2 + 3x + 1, rappresentata in figura. Figura 1: Le funzionif e g, rispettivamente rossa e blu, e la regioneD Soluzione. Siano P e Q i punti di intersezione tra i grafici dif e g nel primo quadrante, e siano le loro ascisse rispettivamentexP e xQ. Il dominioD è y-semplice, infatti D = { (x,y )∈ R2 :xP≤x≤xQ, 3 x≤y≤−x2 + 3x + 1 } , come si può facilmente intuire dal grafico. Applicando le formule di riduzione si ottiene che Area(D) = ∫∫ D 1 dxdy = ∫ xQ xP ∫ −x2+3x+1 3 x 1 dydx = ∫ xQ xP −x2 + 3x + 1− 3 x dx = [ −x3 3 + 3 2x2 +x− 3 logx ]xQ xP , che riconduce il problema a determinarexP e xQ. Imponendof (x) = g(x) otteniamo −x2 + 3x + 1 = 3 x⇒−x3 + 3x2 +x− 3 = 0⇒ (1−x2)(x− 3) = 0⇒x =±1 o x = 3, ove la soluzionex =−1 non è accettabile, visto che i punti di intersezione si trovano nel primo quadrante. Troviamo dunquexP = 1, xQ = 3 e l’integrale vale Area(D) = ∫∫ D 1 dxdy = [ −x3 3 + 3 2x2 +x− 3 logx ]3 1 = 16 3 − 3 log 3. Si noti, per inciso, cheD è anchex-semplice, ma la sua caratterizzazione come tale non è comoda da determinare. Inoltre, si noti che l’ordine di integrazione sul dominioy-semplice è prescritto: primay e poix. ♦ 1 Esercizio 2 (tratto dal tema d’esame del 22/9/2017). Assegnata una quantità realea> 0, si calcoli la massa di una lamina che occupa la regione B ={(x,y )∈ R2 : 0≤x≤a,√x≤y≤√a}, con densità superficiale di massaσ(x,y ) = y y2+a.…