Esercitazione 19

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 19 31/05/2022 Argomenti: integrazione di funzioni di più variabili reali (parte 2): integrali tripli. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si calcoli l’integrale ∫ ∫ ∫ Ωi x +y +z dxdydz nei casii = 1, 2, oveΩ1 :={(x,y,z )∈ R3 : 0≤x≤ 1, 0≤y≤ 1, x+y≤z≤ 1}, e Ω2 :={(x,y,z )∈ R3 :x≥ 0, y≥ 0, z≥ 0, x+y +z≤ 1}. Soluzione. Dominio Ω1 Svolgiamo l’integrale sia per fili che per strati. Per integrare per fili, determiniamo D⊂ R2 e due funzionig,h :D→ R tali che Ω1 ={(x,y,z )∈ R3 : (x,y )∈D, g(x,y )≤z≤h(x,y )}. Si noti cheD non deve dipendere dalla variabilez. Le limitazioni per la variabilez sono già assegnate dal testo: x +y≤ z≤ 1. Guardando i vincoli rimanenti, si potrebbe essere tentati da dire che(x,y )∈ [0, 1]× [0, 1]. Tuttavia, ciò non terrebbe conto del fatto che la somma è soggetta a un vincolo: x +y≤z≤ 1⇒x +y≤ 1, e dunque, ad esempio, sex = 1 2, alloray≤ 1 2 (in particolare, non tutte le coppie(x,y )∈ [0, 1]× [0, 1] sono in D). Poiché la sommax +y può assumere tutti i valori tra0 e 1, segue che D ={(x,y )∈ R2 : 0≤x≤ 1, 0≤y≤ 1, x+y≤ 1}. Ne consegue che ∫ ∫ ∫ Ω1 x +y +z dxdydz = ∫ ∫ D ∫ 1 x+y x +y +z dz dxdy = ∫ ∫ D [ xz +yz + z2 2 ]1 x+y dxdy = ∫ ∫ D x +y + 1 2− 3 2x2− 3 2y2− 3xy dxdy. Abbiamo ricondotto il problema a un integrale doppio e, ad esempio, ∫ ∫ D x +y + 1 2− 3 2x2− 3 2y2− 3xy dxdy = ∫ 1 0 ∫ 1−x 0 x +y + 1 2− 3 2x2− 3 2y2− 3xy dydx. Sottolineiamo che integrare rispetto a una variabile nell’intervallo [a,b ] implica che tale variabile assume tutti e soli i valori tra a e b. Posto 0≤ x≤ 1, si potrebbe essere tentati di scrivere 0≤ x +y≤ 1 e dunque −x≤ y≤ 1−x, dimenticando però che y≥ 0, e dunque per ogni x∈ (0, 1] i valori interni a [−x, 0] non vengono…