Esercitazione 6

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 6 16/03/2022 Argomenti: spazi e sottospazi vettoriali, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Tutti gli spazi vettoriali nel seguito sono da intendersi sul campo dei numeri reali R. Esercizio 1. Sia C0(I) l’insieme delle funzioni a valori reali definite e continue suI ⊂ R. Mostrare cheC0(I) è uno spazio vettoriale reale rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto per scalare. Soluzione. Le operazioni usuali sullo spazio delle funzioni continue (e non solo) sono quelle puntuali, ovvero per ogni f, g∈ C 0(I) e λ ∈ R, (f +g)(x) := f (x) +g(x), (λf )(x) := λf (x). Tali operazioni sono chiuse, a conseguenza delle proprietà elementari delle funzioni continue. Verifichiamo le otto proprietà richieste dalla definizione, dunque sianof, g, h∈ C 0(I) e α, β∈ R: 1. si ha (f +g)(x) = f (x) +g(x) = g(x) +f (x) = (g +f )(x), per ognix ∈I, dunquef +g =g +f; 2. si ha ((f +g) +h)(x) = f (x) +g(x) +h(x) = (f + (g +h))(x) per ognix ∈I, dunque (f +g) +h =f + (g +h); 3. l’elemento neutro della somma è evidentemente la funzione nulla: infatti, fissata arbitrariamentef, (f +g)(x) = f (x) +g(x) = f (x) per ognix ∈I ⇔g(x) ≡ 0; 4. l’elemento opposto della somma è−f, infatti, fissata arbitrariamentef, (f +g)(x) = f (x) +g(x) = 0 per ognix ∈I ⇔g(x) = −f (x); 5. si ha (α(f +g))(x) = α((f +g)(x)) = αf (x) +αg(x) = (αf +αg)(x), e dunque vale la prima proprietà distributiva; 6. si ha ((α +β)f )(x) = αf (x) +βf (x) = (αf +βf )(x), e dunque vale la seconda proprietà distributiva; 7. si ha (α(βf ))(x) = αβf (x) = ((αβ)f )(x), e dunque valeα(βf ) = (αβ)f; 8. se α = 1, (1f )(x) = 1f (x) = f (x). Sia chiara, a fine lettura, la differenza e il ruolo dei vari…