Esercitazione 7

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 7 22/03/2022 Argomenti: basi e dimensione di uno spazio vettoriale, equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1. Si considerino i seguenti vettori diR3: v1 =   1 2 −2  , v2 =   1 1 −3  , v3 =   2 3 −5  , v4 =   4 6 k − 6  , k ∈ R. 1. Stabilire se esiste una base diR3 formata da vettori dell’insieme{v1, v2, v3, v4}, al variare dik ∈ R (se esiste, specificare quali). 2. Per i valori dik per cui esiste una base, esprimerev1, v2, v3, v4 come combinazione lineare degli elementi di tale base. 3. Per quali valori dik si ha che l’insieme{v1, v2, v3, v4} è un insieme di generatori diR3? Soluzione. 1. Riduciamoascalalamatriceottenutaaccostandopercolonneiquattrovettori(comenell’esercitazione precedente, si può fare anche per righe), ovvero A =   1 1 2 4 2 1 3 6 −2 −3 −5 k − 6     1 1 2 4 0 −1 −1 −2 0 −1 −1 k + 2   r2 ← r2 − 2r1, r3 ← r3 + 2r1   1 1 2 4 0 −1 −1 −2 0 0 0 k + 4   r3 ← r3 − r2 Se k ̸= −4, allora i vettori linearmente indipendenti sono{v1, v2, v4}, i quali formano una base diR3, perché R3 ha dimensione 3. Sek = −4, la matrice ha rango 2 e i vettori linearmente indipendenti sono {v1, v2} (i quali non formano una base diR3). 2. Sia dunquek ̸= −4. Deduciamo immediatamente che v1 = 1v1 + 0v2 + 0v4 v2 = 0v1 + 1v2 + 0v4 v4 = 0v1 + 0v2 + 1v4. Per v3, risolviamo il sistema lineare   1 1 4 2 1 6 −2 −3 k − 6     a b c   =   2 3 −5  . La ridotta a scala della matrice completa è la stessa del punto precedente, con le ultime due colonne scambiate, da cui ricaviamo facilmente (risolvendo il sistema) chea =b = 1 ec = 0, ovverov3 = v1 + v2. 3. L’insieme {v1, v2, v3, v4} è un…