Esercitazione 9

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Corso di Analisi e Geometria 2, Prof.ssa M. C. Cerutti Esercitazione 9 29/03/2022 Argomenti: applicazioni lineari, il problema degli autovalori. Gli esercizi indicati con⋆ sono di difficoltà superiore alla media. Esercizio 1 (adattato dal tema d’esame del 7/9/2018). In R3 si considerino i vettori v1 = [1, 1, 1]T, v2 = [0, 1, 1]T e v3 = [1, 1, 0]T. 1. Verificare che{v1, v2, v3} è una base di R3 e scrivere i vettori della base canonica come combinazione lineare dei vettoriv1, v2, v3. Sia Lk : R3→ R3 l’applicazione lineare dipendente dal parametro realek tale che Lk(v1) = 2 v1, L k(v2) = 2 v2, L k(v3) = [k, 1−k, 1]T. 2. Fissata la baseB ={v1, v2, v3} nel dominio, scrivere la matrice rappresentativa diL0 rispetto (a) alla base canonica e (b) alla baseB (nel codominio). 3. Determinare per quali k l’applicazione lineare Lk non è iniettiva e, per tali valori di k, calcolare la dimensione e una base diImLk e KerLk. Soluzione. 1. È sufficiente provare che la matrice che accosta per colonne i tre vettori ha rango massimo, ovvero ha determinante non nullo, dal momento che sappiamo chedim R3 = 3. Poiché detP = det   1 0 1 1 1 1 1 1 0   =−1̸= 0, l’insieme{v1, v2, v3} è una base. Esprimere i vettori della base canonica in coordinate rispetto a questa base equivale a cercare l’inversa della matriceP, ovvero a risolvere i tre sistemi lineariPx = ei con i = 1, 2, 3. Applicando l’algoritmo di Gauss-Jordan (si noti che abbiamo mostrato cheP è invertibile) si ottiene P−1 =   1 −1 1 −1 1 0 0 1 −1  , ovvero, leggendo la matrice per colonne    e1 =v1−v2 e2 =−v1 +v2 +v3 e3 =v1−v3. 2. Si deve esprimereLk(vi) in coordinate rispetto alla base canonica. Poiché le coordinate rispetto alla base canonica uguagliano le componenti, si ottiene (siaE la base canonica) A1 :=ME B (Lk) =   2 0 k…