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Analisi Matematica II - Esercitazione - Ing. Gestionale Cognome: Nome: Matricola: Numero d’ iscrizione: Non scrivere nel riquadro sottostante T empo di svolgimento: 1 ora e 30 minuti. L’esercitazione va svolta SENZA usare testi, appunti, calcolatrici. Esercizio 1. (Teorico) Date le seguenti affermazioni, se ne dia una giustificazione nel caso in cui siano vere e si fornisca un controesempio nel caso in cui siano false. a) se i vettori v1, . . . ,vm generano un sottospazio U di uno spazio vettoriale V , allora dim V > m; b) dati due sottospazi di uno spazio vettoriale V , pu` o capitare che la loro intersezione sia vuota; c) sia A ∈ M (m, n); allora Ax = 0 solo per x = 0. d) sia A ∈ M (m, n); il sistema Ax = b ammette infinite soluzioni se r(A) < n. Esercizio 2. Dato il sistema lineare nelle incognite x, y, z, t    x + 2t = 0 y + kz = 0 x + (k + 1)y + 6z + kt = k − 2 a) discutere al variare del parametro reale k l’esistenza di soluzioni del sistema; b) nel caso in cui per k = 2 esistano soluzioni, risolvere il sistema. Esercizio 3. Sia U il sottospazio vettoriale di R3 generato dai vettori [1, 1, 0]T , [0, 1, 0]T e sia W = {[x, y, z]T ∈R3 : x − y = 0}. a) Trovare la dimensione di U e di W specificando una base; b) determinare U ∩ W specificando una base. Svolgimento. Esercizio 1. a) L’affermazione ` e falsa. Infatti V potrebbe avere dimensione pari a m. Basta considerare V =R2 e i vettori v1 = e1, v2 = e2 che generano un sottospazio (improprio) di V di dimensione 2 = dim V . b) L’interesezione non pu` o essere vuota, visto che ogni sottospazio (e quindi l’intersezione di sottospazi) contiene almeno il vettore nullo. c) L’affermazione ` e falsa. Infatti l’esistenza di soluzioni non banali dipende da r(A). Esempio: sia A = [1 − 1] ∈ M (1, 2) la matrice associata al sistema…