Integrali curvilinei

Page 1

1 APPUNTI su INTEGRALI CUR VILINEI (Lezione 25-26/11/2009) 1 Lunghezza di una curva Sia γ ⊂ R3 una curva di estremi A e B. Una poligonale inscritta in γ ` e una spezzata σ costruita nel seguente modo: dopo aver fissato un numero inte ro n, si scelgono n punti consecutivi Pi = ( xi, y i, z i) (con i = 1 , . . . , n ) su γ , si definiscono P0 = A e Pn+1 = B, e si congiunge ciascun punto con il successivo mediante un s egmento di linea retta. La lunghezza di σ risulta allora essere ℓ(σ ) = n∑ i=0 √ (xi+1 − xi)2 + (yi+1 − yi)2 + (zi+1 − zi)2 = n∑ i=0 ∥Pi+1 − Pi∥. Definizione 1. La lunghezza di una curva ` e l’estremo superiore delle lungh ezze delle poligonali inscritte. Se se questo estremo superiore ` e fini ta diremo che la curva ` e rettificabile. Indichiamo con r : [ a, b ] → R3 una parametrizzazione di γ : i punti Pi della poligonale corrispondono a dei valori ti del parametro. Possiamo dunque scrivere n∑ i=0 ∥Pi+1 − Pi∥ = n∑ i=0 ∥r(ti+1) − r(ti)∥ = n∑ i=0     r(ti+1) − r(ti) ti+1 − ti     · (ti+1 − ti). Se r ` e derivabile con continuit` a e l’ampiezza della partizion e ` e sufficientemente pic- cola si pu` o approssimare r(ti+1) − r(ti) ti+1 − ti ≈ r′(ti∗), per t − i∗ ∈ [ti− 1, t i], e si ottiene ℓ(σ ) ≈ n∑ i=0 ∥r′(ti∗)∥ · (ti+1 − ti). Questo ragionamento pu` o essere reso rigoroso e porta al teo rema seguente: Teorema 1.1 (Lunghezza di una curva) . Se la parametrizzazione r : [ a, b ] → R3 della curva γ ` e di classe C1([a, b ]), allora γ ` e rettificabile e 1 ℓ(γ ) = ∫ b a ∥r′(t)∥ dt = ∫ b a √ (x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2 dt. 1La lunghezza non dipende dalla parametrizzazione scelta. 2 Esempio. Consideriamo la curva cartesiana γ , grafico della funzione y = f (x), a ≤ x ≤ b (che supponiamo di classe C1). La sua naturale parametrizzazione ` e r(t) = ti + f (t)j, t…