Laboratory 1 Solution

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Esercitazione di laboratorio del 29-3-2011 Tracce di possibili soluzioni: Esercizio 1: La stabilità del sistema dipende dagli autovalori della matrice dinamica A: in particolare il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno modulo inferiore a 1. Quindi, occo rre innanzitutto definire la matrice A come definita dal testo de ll’esercizio, per poi calcolarne gli autovalori tramite la funzione eig(). Successivamente si può calcolarne il m odulo tramite la funzione abs(). Pertanto, si può scrivere: A=[-0.8 1 -1; -0.5 0.6 -1; -1 1 -0.5]; % matrice A autoval=eig(A) % autovalori di A autoval = -0.4755 + 0.3641i -0.4755 - 0.3641i 0.2509 modautoval=abs(autoval) % modulo degli autovalori di A modautoval = 0.5989 0.5989 0.2509 Come si vede, il modulo dei tre autovalori è strettamente minore di 1 quindi il sistema è asintoticamente stabile. Inoltre, dato che il sistema ha due autovalori complessi coniugati, ci si può aspettare una risposta allo scalino che presenta oscillazioni smorzate. Il tempo di risposta del sistema sarà pari a ( )⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= DRT λln 15 dove Dλ è l’autovalore dominate del sistema cioè quello/i di modulo massimo. Pertanto, ( ) =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 5989.0ln15RT 9.753 circa. Per calcolare l’equilibrio del sistema sottoposto a ingresso costante 2=u occorre porre: ubxAx += da cui si ottiene ( ) ubAIx 1−−= e udxcy += . Per invertire la matrice (con il comando inv()) occorre innanzitutto costruire una matrice identità delle stesse dimensioni di A; per questo sono utili sia il commando eye() che il commando size(): ( AI − ) b=[1; 1; 1]; % Vettore b c=[1 1 1]; % Vettore c d=0; % Vettore d u=2; % Vettore degli ingressi % Calcolo dell’equilibrio: mi occorre una ma trice identità –eye()- delle dimensioni di A –s ize()-; pertanto mi occo rre…