Laboratory 3 Solution

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Esercitazione di laboratorio del 31-5-2011 Esercizio 1: Legge di controllo e ricostruzione dello stato; progetto del regolatore Innanzitutto occorre definire il sistema in spazio di stato nel workspace di matlab (vedi esercitazione 1); pertanto i comandi da digitare nel prompt sono i seguenti: A=[2 1 -1; -3 -2 -1; -1 1 -4]; b=[1 0 1]'; c=[0 0 1]; d=0; % definizione matrici del sistema a) Valutando gli autovalori della matrice A autoval=eig(A) autoval = 1.5616 -2.5616 -3.0000 si può notare che hanno modulo superiore a 1 così che il sistema risulta instabile. b) Affinché il sistema sia stabilizzabile mediante un regolatore lineare composto da legge di controllo k e ricostruttore dello stato l, occorre che questo sia completamente raggiungibile e completamente osservabile. I comandi matlab ctrb() e obsv() restituiscono, rispettivamente, le matrici di raggiungibilità e di osservabilità. R=ctrb(A,b); % matrice di raggiungibilità det_R=det(R) det_R = 12 % completa raggiungibilità O=obsv(A,c); % matrice di raggiungibilità det_O=det(O) det_O = 8 % completa osservabilità Poiché le matrici di raggiungibilità e di osservabilità hanno determinante non nullo, il sistema è, rispettivamente, completamente raggiungibile e osservabile. Pertanto, il sistema è stabilizzabile mediante un regolatore lineare e la dinamica del sistema regolato è fissabile ad arbitrio. In particolare, sarà possibile determinare una legge di controllo k e un ricostruttore dello stato l tale che tutti i transitori di annullino in tempo finito. c) Progetto della legge di controllo k. Per progettare una retroazione dello stato che assegni gli autovalori come chiesti (tutti nulli) si può utilizzare la formula di Ackermann e il comando matlab acker(). (digitare help acker per una discussione dettagliata sull’uso…