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Parte A Es. 1 Es. 2 T otale Metodi Analitici e Numerici 26 gennaio 2023 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Energetica Cognome: Nome: Matricola: Parte A. A.1 Sia u(x, y) = x2 − y2 + x e sia B3(0, 1) il disco di raggio 3 centrato nel punto (0 , 1), cio` e B3(0, 1) := {(x, y) ∈ R2 : p x2 + (y − 1)2 < 3}. Senza svolgere il conto, si indichi quanto vale ZZ B3(0,1) u(x, y) dxdy. Motivare adeguatamente la risposta. Soluzione: Si verifica che la funzione u ` e armonica in tuttoR2. Infatti, ∂xxu + ∂yy u = 2 − 2 + 0 = 0. Per tale u vale dunque la propriet` a della media, cio` e u(0, 1) = 1 π32 ZZ B3(0,1) u(x, y) dxdy, da cui si deduce che l’integrale richiesto vale −9π. A.2 Si enunci la disuguaglianza di Poincar´ e. Per quali spazi di Sobolev ` e valida? Si motivi la risposta con un adeguato controesempio. Soluzione: Il teorema della disuguaglianza di Poincar´ e afferma che dato un intervallo limitato (a, b) esiste una costante positiva CP tale che ∥u∥L2(a,b) ≤ CP ∥u′∥L2(a,b) per ogni u ∈ H 1 0(a, b) (oppure H 1 0,a(a, b) oppure H 1 0,b(a, b)). La disuguaglianza non ` e valida in H 1(a, b). Questo si pu` o vedere considerando una funzione identicamente uguale ad una costante non nulla u ≡ k ̸= 0: la norma L2 di u in questo caso ` e strettamente positiva, mentre la norma L2 della sua derivata ` e uguale a zero. 1 A.3 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = e−a|x| dove a ∈ R+. Soluzione: Si pu` o tranquillamente partire dalla definizione e calcolare F(f)(ν) = Z +∞ −∞ e−a|x|e−i2πνx dx = Z 0 −∞ eaxe−i2πνx dx + Z +∞ 0 e−axe−i2πνx dx = 1 a − i2πν + 1 a + i2πν = 2a a2 + 4π2ν2 A.4 Si calcoli la antitrasformata di Laplace della funzione Y (s) = 2 s2 − 2s + 5. Soluzione: Al denominatore si completa il quadrato scrivendo 5 = 1 + 4. Abbiamo dunque Y (s) = 2 s2 − 2s…