Massimi e minimi

Page 1

Lunedì 2 Novembre, Martedí 3 Novembre 2009 Massimi e minimi. Data una funzione f di più variabili a valori reali, un punto P del suo dominio si dice di massimo relativo (o locale) se esiste un intorno I di P tale che f/ue0a2Q/ue0a3/u2264f/ue0a2P/ue0a3 per ogni punto Q del dominio di f appartenente a I. Analogamente per punti di minimo relativo per i quali vale la diseguaglianza rovesciata f/ue0a2Q/ue0a3/u2265f/ue0a2P/ue0a3. Se la funzione è di classe C 1, nei punti di massimo e di minimo relativo interni al dominio della funzione vale il seguente risultato, del tutt o analogo al Teorema di Fermat visto per le funzioni di una variabile reale: Teorema di Fermat. Se P è un punto di massimo o minimo locale interno all’insieme di definizione di una funzione f di classe C1 allora grad /ue0a2f/ue0a3/ue0a2P/ue0a3/u003d0 o, equivalentemente, df /ue0a2P; h/ue0a3/u003d0 per ogni incremento h. Questo teorema costituisce solo una condizione necessaria (cioè non è sufficiente) per i punti di massimo o minimo locale, per esempio la funzione x2 /u2212y2 in /ue0a20, 0/ue0a3soddisfa la tesi del teorema di Fermat ma in /ue0a20, 0/ue0a3non siamo in presenza di massimi o minimi locali dato che la funzione cambia di segno in punti vicini all’orig ine. In alcuni casi possiamo sfruttare il teorema di Fermat per in dividuare i punti di massimo o minimo locali o anche assoluti: per esempio se la fu nzione f è definita in un insieme chiuso e limitato sappiamo che necessariamente dev e avere un punto di massimo e un punto di minimo assoluto, se sappiamo che nella f rontiera del suo insieme di definizione non ci possono essere punti di massim o, per esempio se la funzione fosse nulla sulla frontiera e positiva nei punti in terni, possiamo dedurre che i massimi si troveranno tra i punti interni che…