Parte esercizi sol 10

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16.09.2015 — Esercizi Esercizio 1 Lanciamo tre volte una moneta equilibrata, sia X la variabile aleatoria “Numero di croci nei primi due lanci”, sia inoltre Y la variabile “Numero di croci negli ultimi due lanci” 1. Determinare la densit` a congiunta del vettore (X,Y ). 2. Calcolare ρ(X,Y ). Calcolare Var (X +Y ). 3. Calcolare P [X = 1|Y = 1] e P [X = 1|X +Y = 2]. Soluzione 1. p(X,Y )(0, 0) =p(X,Y )(0, 1) =p(X,Y )(1, 0) =p(X,Y )(2, 1) =p(X,Y )(2, 1) =p(X,Y )(2, 2) = 1 8, p(X,Y )(1, 1) = 1 4. 2. E(X) =E(Y ) = 1, Var (X) =Var (Y ) = 1 2, Cov(X,Y ) = 1 4, da cui ρ(X,Y ) = Cov (X,Y )√ Var (X)Var (Y ) = 1 2. Var (X +Y ) = 3 2. 3. P [X = 1|Y = 1] = 1 2, P [X = 1|X +Y = 2] = 1. Esercizio 2 Sia T una variabile aleatoria con densit` a fλ(t) := { 1 a exp− (t−1) a se t≥ 1 0 altrimenti, dovea> 0 fissato. 1. Determinare la funzione di ripartizione di T . 2. Calcolare la media e la varianza di T 1. 3. Siano T1,...,T 100 variabili aleatorie indipendenti, distribuite come T . Calcolare, in funzione di a un valore approssimato della P (T1 +··· +T100 < 200). 4. Dedurre un valore approssimato di a affinch` e questa probabilit` a sia uguale a 0.1. Soluzione 1. FT (x) =P (T≤x) = [1−e (x−1) a ]I[1,+∞[(x). 2. FT−1(x) = P (T− 1≤ x) = P (T ≤ x + 1) = [1 −e x a ]I[0,+∞[(x). E(T ) = E(T− 1) + 1 = a + 1, Var (T ) = Var (T− 1) =a2. 3. Per il Teorema Centrale del Limite si ha: P (T1 +··· +T100 < 200)≃φ(200− 100∗ (a + 1) 10a ) =φ(10 a − 10). 4. a deve essere tale che: φ(10 a − 10) = 0.1↔ 10 a − 10 =z0.9 =−1.28. Quindi a≃ 1.1467. 1Pu` o aiutare osservare cheT − 1 ` e una variabile aleatoria esponenziale di parametro 1 a Esercizio 3 `E noto che la durata di una reazione chimica in presenza di un particolare additivo ` e distribuita come una normale, di media µ. Si effettuano n = 10 esperimenti nelle…