Parte esercizi sol 7

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Esercizio 1 Per uno screening di una popolazione a rischio1, ` e stato effettuato un esame medico con sensibilit` aP [T+|M] del 90% e specificit` aP [T−|M] dell’80%. La popolazione era composta da 1000 persone, e 590 sono risultati negativi all’esame. a) Stimare la proporzione di individui malati presenti nella popolazione; Soluzione: Dai dati abbiamo che P [T+|M] = 0 .9 e P [T−|M] = 0 .8. Detta p = P [M] la probabilit` a che un individuo sia malato, abbiamo che P [T−] =P [T−|M]P [M] +P [T−|M]P [M] = 0.1·p + 0.8· (1−p) ⇒ p = 0.8−P [T−] 0.7 stimando P [T−] con 590 1000, si ottiene ˆp = 0.3. b) sfruttando la stima ottenuta al punto precedente, stimare il valore predittivo P [M|T+] dell’esame. Soluzione: Usando la formula di Bayes (e stimando P [T+] con 1−P [T−] = 410 1000) si trova P [M|T+] = P [T+|M]P [M] P [T+] = 0.9· 0.3 0.41 ≃ 0.6585. 1Sia M l’evento “la persona ` e malata”, e M l’evento “la persona ` e sana”; siano T+ (T−) gli eventi “l’esame ha dato esito positivo (negativo)” Esercizio 2. Da alcuni esperimenti fatti, sembra che la concentrazione c (compresa tra l’1% e il 4%) di un certo reagente in una miscela possa innalzarne la temperatura t di qualche grado. Qui di fianco ` e indicato lo scatterplot relativo a n = 80 osservazioni. Il professor Pico de Paperis ritiene che la temperatura t sia una fun- zione lineare della concentrazione c di reagente, Archimede Pitagorico sospetta, invece, che la temperatura possa essere una funzione quadrat- ica della concentrazione di reagente; in pratica i loro modelli sono, rispet- tivamente: Pico: t =β0 +β1c +ε, Archimede:t =β0 +β1c2 +ε. 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0 10 20 30 40 50 Scatterplot perc-temp percentuale temperatura Gli output e i grafici dei residui dei relativi modelli sono: Pico de Paperis Archimede Pitagorico ˆβi…